07 反常积分

反常积分

定义

Riemann积分的定义要求被积函数是有界的，同时要求积分区间是有限闭区间。而在实际应用中经常会遇到函数是无界的以及积分区间是无穷的情况。因此我们要把Riemann积分进行推广。我们将会看到这种推广是自然的，并且函数无界和积分区间无穷的情形本质上是一回事。

积分是在描述曲边梯形的面积。从这个角度出发，$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$可以自然地被理解为$\lim\limits_{A \to +\infty}\displaystyle\int_a^A f(x)dx$。同理，$\displaystyle\int_{-\infty}^af(x)dx$也就是$\lim\limits_{A \to -\infty}\displaystyle\int_A^af(x)dx$。如果这个极限存在就称为反常积分收敛，否则成为反常积分发散。而$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$应当被理解为$\displaystyle\int_{-\infty}^a f(x)dx+\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$，我们定义只有当这两个单边的无穷积分都收敛时这个双边的无穷积分才收敛。同样的，假如$f(x)$在$b$点无界（成为奇点），那么（假设$[a,b]$内只有$b$一个奇点）$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$也就是$\lim\limits_{B \to b-}\displaystyle\int_a^Bf(x)dx$，其它形式也是类似的。这样的定义是符合我们的直观的。

性质

由于反常积分被定义为了普通的Riemann积分取极限，于是只要对Riemann积分的性质取极限就能得到反常积分的性质。容易证明，线性性、保序性、区间可加性都是成立的。换元积分法、分部积分法（取相应的极限）也是成立的。特别要注意的是，乘积可积性不再成立（反例：$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$可积，而$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{x}dx$不可积）

计算反常积分可以使用Newton-Leibniz公式：$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx=[F(x)]_a^{+\infty}$。

一个重要的例子：$\dfrac{1}{x^p}$

$\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}dx$：当$p \neq 1$时原式$=[\dfrac{x^{1-p}}{1-p}]^{+\infty}_1=\dfrac{1}{1-p}\lim\limits_{A \to +\infty}(A^{1-p}-1)$，只有$1-p<0$时收敛；当$p=1$时原式$=[\ln x]^{+\infty}_1$发散。综上，当且仅当$p>1$时收敛。

$\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{1}{x^p}dx$：当$p \neq 1$时原式$=[\dfrac{x^{1-p}}{1-p}]^{1}_0=\dfrac{1}{1-p}\lim\limits_{A \to 0+}(1-A^{1-p})$，只有$1-p>0$时收敛；当$p=1$时原式$=[\ln x]^{1}_0$发散。综上，当且仅当$p<1$时收敛。

两者结合起来，$\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}dx=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{1}{x^p}dx+\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}dx$不可能收敛。

从几何上看，$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛似乎意味着$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$。事实上这是不正确的，这两个事情是既不充分又不必要的。我们知道$\dfrac{1}{x}$积到无穷是发散的，但是它却趋近0。而我们可以构造出一个在无穷区间上收敛的函数，它却是无界的：把函数以1为单位分段，每一段只有很小一部分函数值取到很大，剩余都取0。事实上可以证明，如果加上条件$f(x)$一致连续，那么就可以推出$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$了。

通过换元法，无穷区间上的反常积分与无界函数的反常积分是可以相互转化的：$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx=\displaystyle\int_{\frac{1}{a}}^{0} f(\dfrac{1}{t})d(\dfrac{1}{t})=\displaystyle\int_{\frac{1}{a}}^{0} g(t)dt$。因此我们只需讨论无穷区间的情形，因为有限区间无界函数的情形本质上是等价的。

Cauchy主值

在我们定义“只有$\displaystyle\int_{-\infty}^a f(x)dx$和$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$都收敛时才有$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$收敛”时有疑惑：为什么要这样定义？对于奇函数$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{x}dx$，我们从几何上似乎可以肯定它的值就是0，而根据反常积分的定义它却是发散的。

在这样两边区间都是无穷的情形，实际上有两个变量在往无穷跑。如果这两个变量趋向无穷速度是完全相等的，那么确实这个积分应当收敛。而问题在于，当我们要求这个积分满足区间可加性的时候，这两个变量就变得独立了。我们知道变量有许许多多种不同地趋向无穷的方式，如果有一个快一些，这个积分就变得不收敛了。

而为了刻画这种变量的“同步性”，我们定义出反常积分的Cauchy主值（Principle Value）：

$P.V. \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{A \to +\infty}\displaystyle\int_{-A}^{A}f(x)dx$

而对于无界函数（假如$a<b<c$，$b$是奇点）也有

$P.V. \displaystyle\int_a^c f(x)dx=\lim\limits_{\eta \to 0+}(\displaystyle\int_a^{b-\eta}f(x)dx+\displaystyle\int_{b+\eta}^{c}f(x)dx)$

可以证明，对于非负函数，反常积分收敛与对应的Cauchy主值收敛是等价的。

反常积分的收敛判别法

有这样的时候，我们求不出反常积分的值，也不关心反常积分的值，只关心反常积分是否收敛。因此我们来探讨反常积分的收敛判别法。

现在我们已经深刻认识到，$\displaystyle\int_a^Af(x)dx$是一个关于$A$的函数（连续的函数），反常积分不过是这个函数的一个极限。因此根据定义，我们就可以自然地应用函数极限的Cauchy收敛原理在判别反常积分的敛散性：$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛的充分必要条件是$\forall \varepsilon>0,\exists A,s.t. \forall A_1,A_2>A$有$|\displaystyle\int_{A_1}^{A_2}f(x)dx|<\varepsilon$。

定积分有绝对可积性，由此我们知道$\displaystyle\int_a^{+\infty}|f(x)|dx \geq \left|\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx\right|$。如果前者是收敛的，那么$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$就一定收敛。这是一种很强的收敛 ，称为“绝对收敛”。如果前者不收敛而后者收敛，就称为“条件收敛”。这大多数情况是因为函数在取向无穷的时候出现正负正负的摆动，这种摆动被积分抵消最后趋向收敛，一旦加上绝对值摆动就无法抵消，因此发散了。（为了更精确地从这个角度描述条件收敛和绝对收敛的表现，可以引入正部和负部，无穷级数里有这部分内容，此处省略）

非负函数的收敛判别法

假设始终有$f(x) \geq 0$。此时如果我们能找到这样一个恒成立的放缩$f(x) \leq K \varphi(x)$，那么根据Cauchy收敛原理，如果$\displaystyle\int_{A_1}^{A_2}\varphi(x)dx$能够任意小，$\displaystyle\int_{A_1}^{A_2}f(x)dx$也就一定能够任意小。所以可以由放缩后的函数收敛直接推出$f$的收敛，也就是说，$\varphi(x)$能够控制$f(x)$。也可以把函数往小放缩，取其逆否命题，如果$f$发散就必定有$\varphi$发散。这个方法称为比较判别法。

有界函数的反常积分的敛散性与任何有限的区间无关，因此我们特别考虑极限情形：如果有$\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{\varphi(x)}=l$，那么根据极限的定义，一定存在一段很后面的区间使得$(l-\varepsilon)\varphi(x)<f(x)<(l+\varepsilon)\varphi(x)$恒成立（$l \neq +\infty$的情形），于是就可以使用比较判别法了！如果$l=0$，那么肯定有$f(x)<\varphi(x)$，所以$\varphi$收敛就一定有$f$收敛。如果$l=+\infty$，那么反而可以推出$f(x)>\varphi(x)$了，所以$\varphi$发散就一定有$f$发散。如果$0<l<+\infty$，那么他们相互之间都可以用比较判别法，$\varphi$和$f$一定同时收敛或者发散。这就是比较判别法的极限形式，它避免了在整个区间上比较放缩前后函数的大小，只需要找到一个函数一起求极限即可。

如何选取合适的$\varphi$呢？我们希望$\varphi$尽量简单，又具有明确的敛散性。我们讨论过的$\dfrac{1}{x^p}$正是一个合适的选择。运用$\dfrac{1}{x^p}$进行判别的方法就是Cauchy判别法。对于无穷区间，$\displaystyle\int_{a}^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}dx$收敛就可以直接等价描述为$p>1$。因此我们可以直接根据比较判别法写出Cauchy判别法：如果$f(x) \leq \dfrac{K}{x^p}$，那么$p>1$可以推出$\displaystyle\int_a^{+\infty}$收敛；相反，如果$\dfrac{1}{x^p} \leq Kf(x)$（或者等价地写成$f(x) \geq \dfrac{K}{x^p}$，这样更对称），那么$p \leq 1$可以推出$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)$发散。写成极限形式：设$\lim\limits_{x \to +\infty}x^pf(x)=l$。如果$l=0$，那么可以由$p>1$推出$\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$收敛；如果$l=+\infty$，那么可以由$p \leq 1$推出$\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$发散。如果$0<l<+\infty$，那么当且仅当$p>1$时$\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$收敛。

一般函数的收敛判别法

对于一般的函数，如果取完绝对值以后反常积分发散，而不取绝对值却是收敛的，这意味着取绝对值的操作“抹去了”正负相抵的效应。一个解决方法时，把摆动的函数先做积分，这样就能保留下摆动相消的效应。为此，我们将会用到积分第二中值定理来刻画这种“抵消”：

$\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\displaystyle\int_{a}^{\xi}f(x)dx+g(b)\displaystyle\int_\xi^bf(x)dx$

其中$g$必须要是一个单调函数。如果$f$连续并且$g'$可积，那么我们可以用分部积分法和积分第一中值定理来证明这个命题。否则的话证明比较复杂，需要用到Abel变换。但结论是，对于一般的可积函数$f$和单调函数$g$（由单调函数一定可积以及定积分的乘积可积性我们知道等式左侧一定是由意义的），这个结论都是成立的。

Pf：设$F(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)dt$，那么$\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)dx=\displaystyle\int_a^bg(x)d(F(x))=F(x)g(x) \big|^b_a-\displaystyle\int_a^bF(x)g'(x)dx$。而$F(a)=0$，因此$F(x)g(x) \big|^b_a=F(b)g(b)=g(b)\displaystyle\int_a^bf(x)dx$。而因为$F$连续，由积分第一中值定理得$\displaystyle\int_a^bF(x)g'(x)dx=F(\xi)\displaystyle\int_a^bg'(x)dx=(g(b)-g(a))\displaystyle\int_a^\xi f(x)dx$。两式相加就得到了要证得命题。

Abel判别法：如果$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛，同时$g(x)$单调有界，那么$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$收敛。注意我们不能直接用积分第一中值定理提出$g$，因为那要求$f(x)$是不变号的，而$f$的变号才是真正困扰我们的。我们运用Cauchy收敛原理，只要证明$|\displaystyle\int_{A_1}^{A_2}f(x)g(x)dx|$能够任意小。运用积分第二中值定理，利用绝对值三角不等式，同时把$g$直接放缩到它的上界，就得到$|G|\left(\left|\displaystyle\int_{A_1}^{\xi}f(x)dx\right|+\left|\displaystyle\int_{\xi}^{A_2}f(x)dx\right|\right)$，由于$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$是收敛的，因此这两个积分都可以任意小，整体也就可以任意小了。

Dirichlet判别法：相对于Abel判别法，我们放松对$f$的条件，加紧对$g$的条件。如果$F(A)=\displaystyle\int_a^{A}f(x)dx$有界，$g(x)$单调且$\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=0$，那么$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$收敛。同样的运用Cauchy收敛原理和积分第二中值定理，这一次把$f$的积分放缩到它的上界，就得到$|g(A_1)|\left|\displaystyle\int_{A_1}^{\xi}f(x)dx\right|+|g(A_2)|\left|\displaystyle\int_{\xi}^{A_2}f(x)dx\right| \leq M(|g(A_1)|+|g(A_2)|)$，而$|g(A)|$可以任意小，因此整体也可以任意小。

这两个判别法统称为A-D判别法。

一个经典的例子是$\displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx$。由于$\displaystyle\int_a^{+\infty}\sin xdx=[-\cos x]^{+\infty}_a$有界，$\dfrac{1}{x}$单调并且趋向0，因此由Dirichlet判别法就可以得到它是收敛的。但是它不是绝对收敛的，我们可以这样放缩$\left|\dfrac{\sin x}{x}\right| \geq \dfrac{\sin^2 x}{x}=\dfrac{1-\cos 2x}{2x}$，根据线性性，它的反常积分要收敛必须要求$\displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac{1}{2x}dx$和$\displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac{\cos 2x}{2x}dx$都收敛， 后者可以用Dirichlet判别法得到收敛，而前者显然是发散的。所以可以推出，$\displaystyle\int_a^{+\infty} \left| \dfrac{\sin x}{x} \right| dx$发散。（这里使用了非负函数的比较判别法）所以我们发现，$\displaystyle\int_{a}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx$是条件收敛的。这正好体现了“正负相消”的效应。

无界函数的收敛判别法

对应的，我们考虑$[a,b]$上$b$为奇点时的收敛判别法。我们完全没有必要给出它们的证明，因为无界函数的反常积分通过换元就可以之间转化为无穷区间的反常积分，而且就算直接对无界函数证明它的依据也是函数在某点收敛判定的Cauchy收敛原理，其描述是完全相似的。需要注意的是$p$和$1$的大小关系在这里是相反的，因为奇点处$\displaystyle\int_0^a\dfrac{1}{x^p}dx$是在$p<1$时收敛的，而$\displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}dx$是在$p>1$时收敛的。

Cauchy收敛原理：$\displaystyle\int_a^bf(x)dx$收敛当且仅当$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,s.t. \forall \eta_1,\eta_2 \in (0,\delta)$有$\left|\displaystyle\int_{b-\eta_1}^{b-\eta_2}f(x)dx\right|<\varepsilon$

非负函数的Cauchy判别法：对于$b$的某个左邻域，如果满足$f(x) \leq \dfrac{K}{(b-x)^p}$，那么可以由$p<1$推出$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$收敛；如果满足$f(x) \geq \dfrac{K}{(b-x)^p}$，那么可以由$p \geq 1$推出$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$发散。

非负函数的Cauchy判别法的极限形式：设$\lim\limits_{x \to b-}(b-x)^pf(x)=l$。如果$l=0$，那么可以由$p<1$推出$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$收敛；如果$l=+\infty$，那么可以由$p \geq 1$推出$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$发散；如果$0<l<+\infty$，那么二者当且仅当$p<1$时$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$收敛。

Abel判别法：如果$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$收敛，$g(x)$单调有界，那么$\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx$收敛。

Dirichlet判别法：如果$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$有界，$g(x)$单调并趋向0，那么$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$收敛。