10 静磁学 Magnetostatics

作用于一电荷上的力不仅取决于它的位置，称为电力，还取决于它的运动速度，称为磁力。磁力具有一种奇怪的方向特性，它的大小和方向都取决于粒子的运动。另外，磁力又总是与空间中该点处某一固定方向垂直。所有这一切都可以通过定义磁场矢量$B$来加以描述，于是可以把磁力写作$qv \times B$，称为洛伦兹力。作用于电荷上的电磁力永远满足$F=q(E+v\times B)$。

作用于电流上的磁力

为了研究磁力，我们需要研究运动的电荷。我们把电荷的流动称为电流，这种流动可以通过单位时间以某个方向垂直通过某个单位面积元的电荷量这样一个矢量来描述，称为电流密度，记为$\vec{j}$。取小块面积$\Delta S$，设它的法向量为$\vec{n}$，于是单位时间通过这块面积的电荷量为$\vec{j} \cdot \vec{n}\Delta S$。根据定义，一定有$\vec{j}=\rho\vec{v}$，其中$\rho$是该点处的电荷密度。

任取一个面$S$，单位时间内通过该面的总电荷量就称为电流，记为$I$。$I=\displaystyle\int\limits_{S} \vec{j} \cdot \vec{n}dS$。现在考虑一段长度为$L$的导线受到的总洛伦兹力，每个电荷受到的力为$qv \times B$，把$\vec{I}=\vec{jS}$记为电流矢量，于是$\vec{I}=\rho\vec{v}S$，$\rho = qN$，其中$N$是单位体积内的电荷数。总洛伦兹力$F=LSNq\vec{v} \times \vec{B}=LS\rho \vec{v} \times \vec{B}=\vec{I} \times \vec{B}L$。由此可见，作用在导线上的磁力仅取决于总电流，与各个电荷的运动无关。

磁场给导线一个力，根据作用力与反作用力原理，应当有一个导线作用给磁场的力。这样的力确实存在，通电导线能让附近的磁针偏转，这意味着电流本身就会产生磁场，也即运动电荷会产生磁场。我们直接从略去含有时间的项的麦克斯韦方程组来理解这一现象：

$\nabla \cdot B = 0$

$c^2 \nabla \times B = \dfrac{j}{\epsilon_0}$

这就是静磁学的全部方程。它们关于$B$是线性的，这意味着叠加原理也适用于磁场。其中我们要求$B$和$j$都是恒定不变的，这意味着空间中只能存在“恒定电流”，这是对大量定常流动的电荷的一种近似。

$\nabla \cdot B=0$指出$B$是无散度场，这意味着像“电荷”这样的磁类似物——磁荷——是不存在的。现实中也确实没发现过磁荷。磁感线没有起点也没有终点，不会从某一点散发出去而是以闭合回路的方式存在。所有的磁感线都以第二个方程描述的方式围绕着某个电流存在。并且我们注意到$j$正比于$B$的旋度，也就是说$j$是某个场的旋度，所以由$j$构成的场一定不具有散度，因为旋度的散度恒为0。既然$\nabla \cdot \vec{j}=0$，就意味着不存在某个源中不断产生电流，所有的电流必须形成回路，不允许正在充放电的电容器等等。

类比于静电学中的高斯定律，我们任取一个曲面$S$对第二个方程运用斯托克斯定理，得到$\displaystyle\oint B \cdot ds=\displaystyle\oint (\nabla \times B) \cdot \vec{n}dS$，代入得到$\displaystyle\oint B \cdot ds=\dfrac{1}{c^2\epsilon_0}\displaystyle\oint j \cdot ndS$，右侧的积分就是通过$S$的电流，于是我们得到$\displaystyle\oint B \cdot ds=\dfrac{I_S}{\epsilon_0 c^2}$：围绕任何闭合曲线的磁场线积分恒等于通过任何以该闭合曲线为边界的曲面的电流$/\epsilon_0c^2$。这称为安培定律。考虑一根通电长直导线，根据对称性磁场一定以同心圆分布，所以在距离导线$r$处磁场线积分就是$2\pi r B$，于是$2\pi r B =\dfrac{I}{\epsilon_0 c^2}$，解得$B=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\dfrac{2I}{r}$，其中$\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}$精确地等于$10^{-7}$（在国际单位制下，因为这就是电流单位的定义式）。可见通电指导线的磁场强度与距离成反比。对通电螺线管运用安培定律，取一个一半穿过内部一半从外侧返回的回路，得到其内部磁场$B=\dfrac{nI}{\epsilon_0 c^2}$，其中$n$是单位长度的螺线管匝数。

磁场与电场的相对性

一个尤其重要但被常常被我们忽略的问题是：当我们定义洛伦兹力$F=qv\times B$时，$v$是相对于哪个参考系的速度？对这个问题的解答直接触及了“电磁”的本质， 答案是：任何一个惯性系都可以。但这显然不太对劲，因为这样在不同参考系下洛伦兹力大小就不一样大了，现象也就应当不一样，但现象显然不应该依赖于参考系的选取。接下来我们就要说明，并不会产生不一样的现象，在相对论变换下，磁力因为参考系的选取而发生变化的部分将由电力来补足，我们可以说磁现象只是电现象的一种相对论效应，或者更本质地，磁和电本来就不是相互独立的东西，它们必须永远作为一个完整的电磁场结合在一起。

考虑一根载流导线，有一个负电荷在导线外相对于导线以$v_0$的速度平行运动。以载流导线为参考系，负电荷受到洛伦兹力方向指向导线，因而靠近导线运动。但如果选负电荷为参考系呢？那么负电荷是静止的，因此不受洛伦兹力。如果现象不依赖于参考系的选取，那么负电荷必须要受到一个力把它拉向导线，这个力既然不是磁力就只能是电力。为了方便，不妨设导线内的电子运动的漂移速度恰好也是$v_0$。我们知道，在导线静止的参考系中导线是电中性的，而在导线运动的参考系中，选取一段导线，由于电子在运动所以根据相对论会发生长度收缩。长度的收缩就导致了正电荷和负电荷的电荷密度产生了变化，电中性被破坏，从而产生了电力吸引负电荷靠近导线。根据洛伦兹变换做精确的计算，我们可以证明无论选取什么惯性参考系都会给出相同的物理结果。更进一步，我们发现电荷密度$\rho=\dfrac{\rho_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$，电流密度$j=\dfrac{\rho_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$，它们的数学形式和力学的相对论变换中能量和动量的关系是完全相同的，因此我们断定$\rho$和$j$也能构成一个相对论性四维矢量。

矢势

在静电学中，只要已知所有电荷的位置就可以求出空间每一点的电场。现在我们同样想研究，如果已知所有运动电荷的电流密度$j$，能不能有一种方法求出空间每一点的磁场？在静电学中的一种直接方法就是用积分求出电势函数$\phi$，然后通过对电势求微分就得到电场。

我们之所以能求出$\phi$，是因为我们在静电学基本方程中已知$\nabla \times E=0$恒成立，因此一定存在一个标量函数$\phi$使得$\nabla \phi=E$，这就是无旋场的标量势。如今静磁学的基本方程中已知的是$\nabla \cdot B=0$恒成立，所以我们知道一个存在一个矢量函数$A$使得$\nabla \times A = B$，这称为无散场的矢量势，简称矢势。标量势不是唯一的，因为我们可以给他附加上常数的平移。同样矢量势也不是唯一的，由于梯度的旋度是0，我们为他附加上任何一个函数的梯度依然都能满足矢势的要求，也即$A'=A+\nabla\psi$始终都是满足要求的矢势。所以为了讨论方便，我们相对$A$做些限制，比如限制它的散度。在静磁学中，我们规定$A$的散度必须为0。这样矢势的定义就修改为满足$\nabla \times A=B$且$\nabla \cdot A=0$的矢量场$A$。

对某一闭合回路$\Gamma$，根据斯托克斯公式$\displaystyle\oint_\Gamma A \cdot ds=\displaystyle\int_{\Gamma内} (\nabla \times A) \cdot ndS$ $=\displaystyle\int_{\Gamma内} B \cdot ndS$，也就是说某一曲面上磁场的面积分等于矢势沿曲面边界的环路积分。

现在我们来解决已知电流求磁场的问题，求磁场只需求矢势。我们把$B=\nabla \times A$代入$c^2 \nabla \times B=\dfrac{j}{\epsilon_0}$，就有$c^2 \nabla \times (\nabla \times A)=\dfrac{j}{\epsilon_0}$，而$\nabla \times (\nabla \times A)=\nabla(\nabla \cdot A)-\nabla^2A$，而我们规定过$\nabla \cdot A=0$，因此化简得到$\nabla^2A=-\dfrac{j}{\epsilon_0c^2}$。这是一个矢量方程，把它按照各个分量写出，恰好与静电学上我们求标量势的方程$\nabla^2\phi=-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}$全同。当时我们解出了$\phi_1=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int \dfrac{\rho_2dV_2}{r_{12}}$，于是现在就有$A_1=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\displaystyle\int \dfrac{j_2dV_2}{r_{12}}$。这样就可以通过解一个想象中的静电学问题来解决静磁学问题。

许多静磁学的问题可以类比静电学，例如我们计算得到一个小回路电流的场的数学形式和电偶极子是完全相同的，于是我们就把一个小电流回路称为磁偶极子（尽管并不存在磁荷），电流乘以该回路的面积就是对应的磁偶极矩。

另一个重要的问题是一个能够忽略导线横截面积的电路，此时$jdV=jSds=Ids$，于是有$A_1=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\displaystyle\int \dfrac{Ids_2}{r_{12}}$，于是$B_1=\nabla \times A=-\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\displaystyle\int \dfrac{Ie_{12}\times ds_2}{r^2_{12}}$，这称为毕奥-萨伐尔定律，它提供一个直接获得载流导线所产生的磁场的公式。

静电场的标量势衡量电荷的能量，那么矢势是否衡量恒定电流的能量？我们将看到，这一结论只在静场时成立。在静磁学中，我们可以把矢势看作关于电流的一种势能：$U=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \vec j\cdot \vec A dV$。这与静电学中的$U=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \rho\phi dV$是对应的。但当场随时间变化时，这并不正确。