三次方程的求解

卡尔丹公式(Cardano formula)

对于三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$，我们可以不失一般性假设$a=1,b\geq 0$。

对于$x^3+bx^2+cx+d=0$，可以做替换$x=y-\dfrac{b}{3}$。因为$y$是关于$x$的一次函数，所以$x$与$y$形成双射，只需求解方程$(y-\dfrac{b}{3})^3+b(y-\dfrac{b}{3})^2+c(y-\dfrac{b}{3})+d=0$，化简得$y^3+(-\dfrac{b^2}{3}+c)y+\dfrac{2b^3}{27}-\dfrac{bc}{3}+d=0$。由此可见这一步换元的目的是消去二次项，把求解一般三次方程的问题转化为了求解二次项为0的三次方程的问题。

设$p=-\dfrac{b^2}{3}+c$，$q=\dfrac{2b^3}{27}-\dfrac{bc}{3}+d$，那么只需考虑一下一般性的问题$y^3+py+q=0$。做换元$y=u+v,p=-3uv$，代入得到$(u+v)^3+p(u+v)+q=0$。展开得$u^3+3uv^2+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0$。整理得$u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0$，代入$uv=-\dfrac{p}{3}$得到$u^3+v^3+q=0$。再代入$v=-\dfrac{p}{3u}$，得到$u^3-\dfrac{p^3}{27u^3}+q=0$。也即$u^6+qu^3-\dfrac{p^3}{27}=0$。这是一个关于$u^3$的二次方程，所以立即得到$u^3=\dfrac{-q\pm\sqrt{q^2+\dfrac{4}{27}p^3}}{2}$。设$r=\dfrac{-q\pm\sqrt{q^2+\dfrac{4}{27}p^3}}{2}$，那么$u^3=r$在负数域内有三个解$r^\frac{1}{3},r^\frac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right),r^\frac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)$。分别把这三个解记为$u_1=r^\frac{1}{3}\omega_1,u_2=r^\frac{1}{3}\omega_2,u_3=r^\frac{1}{3}\omega_3$，那么可以代回得到$v_1=-\dfrac{p}{3u_1},v_2=-\dfrac{p}{3u_2},v_3=-\dfrac{p}{3u_3}$，所以能够得到$y$的三个解$y_1=u_1-\dfrac{p}{3u_1},y_2=u_2-\dfrac{p}{3u_2},y_3=u_3-\dfrac{p}{3u_3}$。

还需要进一步分析

由代数基本定理可得，这就是全部的三个解了。

综上，可以整理得到三次方程的求根公式。懒得打。称为卡尔丹公式。