06 有限群的结构

我们可以从有限群的大小$|G|$的质因数分解出发研究有限群的结构。

有限交换群

首先，我们研究交换群。对于交换群而言，所有子群都是正规子群。因此，所有的商集都会形成商群。我们可以很方便地利用商群来简化证明。

设$G$是有限交换群，$|G|=n$。我们证明：假如$n$有素因子$p$，也即存在素数$p$使得$n=pm$，则$G$中存在order为$p$的元素。（这说明一定存在大小为$p$的子群，因为由这个元素可以生成循环子群。）Pf. 我们对$m$归纳，并且对每个$m$对任意$p$给出证明。$m=1$时$G$是素阶群，任何非单位元的order都是$n=p$，成立；假设小于$m$时上述性质已经成立：任取$a\in G$且$a$不是单位元，那么由Lagrange定理$|\lang a\rang| \mid pm$。记$r=|\lang a\rang|$，若$p\mid r$，则$\text{ord}(a^{r/p})=\dfrac{r}{\gcd(r,r/p)}=p$，找到了；若$p\not\mid r$，则取$G$的商集$G/\lang a\rang$。由于是交换群，任何子群都是正规子群，因此任何商集都是商群。那么$|G/\lang a\rang|=n/r$。因为$r\mid pm$而$p\not\mid r$，所以只能是$r\mid m$。因此$|G/\lang a\rang|=p\cdot \dfrac{m}{r}$，记$m'=m/r$，可以用归纳假设得到$G/\lang a\rang$中存在order为$p$的元素。也即，存在$b\in G$使得陪集$b\lang a\rang$在商群中的order为$p$。这意味着，$b\not\in \lang a\rang$（否则就有$b\lang a\rang=\lang a\rang$，则$b\lang a\rang$在商群中的order为$1<p$），同时$(b\lang a\rang)^p=\lang a\rang$，所以$b^p\in \lang a\rang$。那么，$(b^p)^r=(b^r)^p=e$。这说明$|\lang b^r\rang|\mid p$，$p$是质数。只要证明$b^r\neq e$，我们就能说明$b^r$的order是$p$。因为$\gcd(p,r)=1$，根据扩展欧几里得存在$x,y$使得$px+ry=1$，这意味着$b=b^{px+ry}=(b^p)^x\cdot b^{ry}$。如果$b^r=e$，则$b=(b^{p})^x\in \lang a\rang$，这就与$b\not\in\lang a\rang$矛盾。因此$b^r\neq e$。Qed.

Rmk. 这个定理对于非交换群也是成立的，Sylow定理将会揭示这一点。

设有限交换群$|G|=n$，可以证明对任意的$n$的因子$m$，一定存在$H\preceq G$使得$|H|=m$。而我们知道根据Lagrange定理一个有限群的子群大小只可能是$n$的因子，因此有限交换群具有这样的性质：每个可能大小的子群都存在。Pf. 依旧，我们对$m$归纳，并且对每个$m$对任意$n$给出证明。$m=1$时$H=\{e\}$，成立；假设小于$m$时上述性质已经成立：若$m$是素数，由上面的定理可知$G$中存在$m$阶元素，成立；若$m$不是素数，那么存在素因子$p$使得$p\mid m$。那么$p\mid n$，由上面的定理可知$G$中存在$p$阶元素$a$。由此可以构建商群$G/\lang a\rang$，其大小为$n/p$。因为$p$是$m,n$的公因子，且$m\mid n$，因此$m/p\mid n/p$。那么根据归纳假设，$G/\lang a\rang$中存在大小为$m/p$的子群，由自然同态$\pi:G\to G/\lang a\rang$的逆映射我们找到了$G$中大小为$(m/p)\cdot p=m$的子群（右子群左子群）。Qed.

Sylow定理

对于一般的有限群，交换律不一定成立。此时我们有Sylow定理来基于$|G|$的质因数分解刻画群的结构。下面我们描述并证明这些定理，我们在证明中将反复使用群在集合上的作用。

Sylow第一定理

设$|G|=n$有素因子$p$，我们提出所有的素因子，得到$n=p^rm$且$p\not\mid m$。Sylow第一定理指出，$G$一定有一个大小为$p^r$的子群。这个子群称为Sylow $p$-子群。（一般我们把一个大小为$p$的某个幂次的群称为一个$p$-群，如果它是一个子群就称$p$-子群。）

Pf.

令$G$以元素左乘的方式作用在所有大小恰为$p^r$的$G$的子集集合上：$X=\{S\mid S\subseteq G,|S|=p^r\}$，$f_g:S\to xS$。由于左乘群的元素的映射是单射，因此不改变集合的大小，$f_g$确实是$X\to X$的映射，并且结合律和单位元显然成立。$X$的大小是$\dbinom{n}{p^r}$。由$G$在$X$上的作用，$\dbinom{n}{p^r}$个元素被分为了若干轨道。

一个重要的观察是，$p$一定不是$\dbinom{n}{p^r}$的因子。这是因为我们可以证明$\dbinom{n}{p^r}$和$\dfrac{n}{p^r}$在模$p$下同余，那么由$n=p^rm$中$p\not\mid m$就说明$p\not\mid \dbinom{n}{p^r}$。Pf. 对任意整数$X$，$(X+1)^{p}=X^{p}+1+\sum\limits_{i=1}^{p-1}\dbinom{p}{i}X^i$，其中$\dbinom{p}{i}=\dfrac{p!}{i!(p-i)!}=p\cdot \dfrac{(p-1)!}{i!(p-i)!}$，由于$i<p,p-i<p$，分母$i!(p-i)!$中不可能有$p$的因子，因此$\dbinom{p}{i}$始终是$p$的倍数。因此$(X+1)^p\equiv X^p+1\pmod p$。于是，$(X+1)^{p^2}\equiv ((X+1)^p)^p$ $\equiv (X^p+1)^p\equiv X^{p^2}+1\pmod p$。依此类推，对任意的$r>0$都有$(X+1)^{p^r}\equiv X^{p^r}+1\pmod p$。于是$(X+1)^{n}=(X+1)^{p^rm}=((X+1)^{p^r})^m$，因此$(X+1)^n\equiv(X^{p^r}+1)^m\pmod p$。左侧展开后$X^{p^r}$这一项的系数就是$\dbinom{n}{p^r}$，右侧是$\dbinom{m}{1}=m$，它们必须是关于$p$同余的。Qed.

这意味着，不可能$X$的所有轨道的大小都是$p$的倍数，不然$\dbinom{n}{p^r}$就一定有因子$p$了。也就是说，存在一个轨道$B(S),S\in X$，使得$p\not\mid |B(S)|$。将$S$的稳定子$G(S)$记为$P$。那么$\forall g\in P,gS=S$。那么$\forall g\in P,s\in S$都有$gs\in S$。也即对任意的$s\in S$，都有$Ps\subseteq S$。由于群中元素的右乘不改变大小，于是有$|P|=|Ps|\leq |S|=p^r$。而轨道大小乘以稳定子大小一定等于群的大小，因此$|P|\cdot |B(S)|=p^rm$，且$p\not\mid |B(S)|$。因此$p^r\mid |P|$，也即$p^r\leq |P|$。综上，$|P|=p^r$。稳定子是一个子群，因此$P$就是我们要找的——那个轨道大小不能整除$p$的$S$的稳定子$G(S)$就是我们要找的Sylow $p$-子群。

Qed.

既然存在大小为$p^r$的子群，那么根据Lagrange定理子群中的元素的阶都必须为$p$的幂次。在这些元素生成的循环群中，显然存在阶恰好为$p$的元素。因此Sylow第一定理的一个简单推论就是，如果有限群的大小有素因子$p$，那么其中一定存在$p$阶元素。这正是我们在有限交换群中已经验证过的事实，现在我们知道对于非交换群它也成立。

如果$|G|=p^r$，那么它的所有子群大小都是$p$的幂次，因此所有元素的阶也都是$p$的幂次；反之，如果一个群的所有元素的阶都是$p$的幂次，这个群的大小也必须是$p$的幂次：如果不是，那么设$|G|$还有另一个素因子$q$，根据刚才的推论也就一定有$q$阶元素，矛盾。所以我们得知，$p$-群可以等价定义为所有元素的阶都是$p$的幂次。

Sylow第二定理

设$|G|=n$，$n=p^rm$且$p\not\mid m$。记$n_p$为Sylow $p$-子群的个数，Sylow第二定理指出：$n_p\equiv 1\pmod p$。

Pf.

由于Sylow第一定理已经表明存在至少一个Sylow $p$-子群，不妨取一个这样的子群记为$P$。令所有Sylow $p$-子群构成集合$X=\{H\mid H\preceq G,|H|=p^r\}$，令群$P$以元素共轭的方式作用在集合$X$上，$f_a:H\to aHa^{-1},a\in P$。我们就是要证明$|X|$模$p$余$1$。对于任意的$X$中一个轨道，它的大小为$|P|$除以稳定子大小，而$|P|$是$p$的幂次，因此轨道大小也必须是$p$的幂次。那么我们只需证明大小为$1$的轨道只有一个，这样就完成了Sylow第二定理的证明了。

首先，$P$的轨道大小必须为1，因为$\forall a\in P$，$aPa^{-1}=P$。接着，假设有另一个$Q\in X$满足$\forall a\in P,aQa^{-1}=Q$，也即$\forall a\in P,aQ=Qa$，因此$PQ=QP$。而$P,Q$都是$G$的子群，我们证明过此时$PQ$也是$G$的子群。我们还证明过$|PQ|=\dfrac{|P||Q|}{|P\cap Q|}$，其中$|P||Q|=p^{2r}$，而$1\leq |P\cap Q|\leq |P|=p^r$，因此$|PQ|\geq p^r$。如果$|PQ|>p^r$，那么由Lagrange定理$|G|$有一个大于$p^r$的$p$的幂次作为因子，矛盾。因此$|PQ|=p^r$。而$P\subseteq PQ$且$|P|=p^r$，因此$PQ=P$，那么只能是$P=Q$（如果不相等，那么由于$P$中有单位元，$PQ$中就会有$P$中不存在的元素，$PQ\neq P$，矛盾）。综上，轨道大小为1的子群只有一个。

Qed.

Sylow第三定理

第三定理描述Sylow $p$-子群之间的关系。

设$R$是$G$的任意某一个$p$-子群，令$R$以左乘的方式作用在$X=G/P=\{gP\mid g\in G\}$上，$f_a:gP\to agP$，其中$P$是某一个Sylow $p$-子群。于是$|X|=|G|/p^r=m$。同样地，$X$中所有轨道大小都是$|R|$的因子，因此都是$p$的幂次，所有轨道大小累加得到$|X|=m$，而$m$不是$p$的幂次。这意味着，一定存在大小为$1$的轨道。也即，存在$g_0\in G$使得$\forall r\in R$，$rg_0P=g_0P$。所以$g_0^{-1}rg_0P=P$，等价于$g_0^{-1}rg_0\in P$。所以$g_0^{-1}Rg_0\subseteq P$。假如$|R|=p^r$，也即如果它是一个Sylow $p$-子群，那么$|R|=|g_0^{-1}Rg_0|=|P|$。而我们已经证明了$g_0^{-1}Rg_0\subseteq P$，因此一定有$g_0^{-1}Rg_0=P$。这就是Sylow第三定理，所有的Sylow $p$-子群都与$P$共轭（等价于pairwise共轭）。而对于任意$g$，我们验证过共轭是保子群的性质的（子群共轭作用是群作用），因此$gPg^{-1}$一定构成一个新的子群，它一定也是Sylow $p$-群。综上，基于$P$用这样的共轭方式得到的所有的群的集合就是所有的Sylow $p$-群！

我们可以用子群的共轭作用来描述：考虑$G$元素共轭作用在$X=\{H\mid H\preceq G\}$上。那么对于Sylow $p$-子群$P\in X$，根据Sylow第三定理，其轨道上的所有子群就恰好是全部的Sylow $p$-子群，$n_p=B(P)$。因此$n_p$是$|G|$的因子。而第二定理告诉我们$n_p\equiv 1\pmod p$，因此$p\not\mid n_p$。那么必须有$n_p\mid m$。可见，Sylow $p$-子群的个数一定是$\dfrac{|G|}{p^r}$的约数。

Cor. 在交换群中，任何子群的共轭都是自身。因此在有限交换群中应用Sylow第三定理，容易发现它具有唯一的Sylow $p$-子群。

Cor. 如果Sylow $p$-子群$P$是$G$的正规子群，那么$\forall g\in G,gPg^{-1}=P$，应用Sylow第三定理可见$P$是唯一的Sylow $p$-子群。

Sylow定理的推论

去除$p^r\not\mid m$

Sylow第一定理指出若$|G|=p^rm$，且$p^r\not\mid m$，那么存在大小为$p^r$的子群。我们可以进一步证明对于任意的$1\leq k\leq r$，大小为$p^k$的子群都存在。这样我们就不必在描述第一定理的时候附加上$p^r\not\mid m$这一条件，而是简单地表述为若$|G|=p^rm$成立，则存在大小为$p^r$的子群。

Pf.

我们对$n$用归纳法，$n=1$时显然成立。假设$n'<n$时都成立，要证$n$成立。设$G$的中心元群$C=\{g\mid \forall x\in G,gx=xg\}$。中心元群一定是交换群。如果$C=G$，则$G$是交换群，我们证明过有限交换群的任意因子大小的子群都存在，因此成立；如果$C\subsetneq G$，此时分类讨论：

① $p\mid|C|$：根据$C$是有限交换群，一定存在大小为$p$的循环子群$\lang a\rang$。由于$\lang a\rang$中元素与所有$G$中元素满足交换律，因此$\forall g\in G,g\lang a\rang=\lang a\rang g$，也即$\lang a\rang\unlhd G$。那么，$G/\lang a\rang$构成商群，$|G/\lang a\rang|=p^{r-1}m<n$，根据归纳假设它存在大小为$p^{r-1}$的子群$\bar H$。那么把$\bar H$对应的所有陪集中的元素倒出来，根据自然同态的右子群左子群得到了大小为$|\lang a\rang|\cdot |\bar H|=p^r$的子群$H$。

② $p\not\mid |C|$：考虑$G$到$G$的元素共轭作用产生的轨道等价类（我们把它称为共轭等价类）。由于中心元群中的任意元素$c$都满足$\forall g\in G,gcg^{-1}=cgg^{-1}=c$，因此它们都自成一个轨道（共轭类）；反之，一个自成一个轨道的元素一定是中心元。因此$|G|$可以写成$|C|$与一系列大小大于1的轨道大小之和。既然$p$是$|G|$的因子而不是$|C|$的因子，那么肯定存在一个大于1的轨道大小不是$p$的倍数。而这个轨道的大小又一定是$|G|$的因子，那么它一定是$m$的因子。这等价于这个轨道的稳定子$S$的大小一定是$p^r$的倍数。由于轨道大小大于1，$|S|<|G|$，因此可以由归纳假设得知$S$一定包含大小为$p^r$的子群。继而$G$有大小为$p^r$的子群。

Qed.

大小为$p^2$的群

下面我们证明大小为$p^2$的群$G$一定是交换群。也就是我们要证明，此时中心元群$C\subseteq G$一定是全集。

Pf.

根据Lagrange定理，我们只需排除$|C|=1$与$|C|=p$的可能性。

如果$|C|=1$，那么$C=\{e\}$。所以$\forall x\neq e$，存在$g\in G$使得$gx\neq xg$。所以在$G$元素共轭作用于$G$上时，只有一个大小为1的轨道。而每个大于1的轨道大小只可能为$p$或$p^2$，这就与所有轨道的所有元素之和为$p^2$矛盾。

如果$|C|=p$，那么由于$C$是正规子群，$\bar G=G/C$构成商群。这个商群的大小为$p$，而素阶群都是循环群，所以$\bar G$是循环群，设其生成元为$\lang bC\rang$，那么$\bar G=\{C,bC,b^2 C,\cdots,b^{p-1}C\}$。那么$G=\bigcup\limits_{i=0}^{p-1}b^{i}C$。$C$也是循环群，记为$\lang a\rang$，那么$C=\{1,a,\cdots,a^{p-1}\}$。于是$G=\{b^ia^j\mid 0\leq i,j<p\}$。如果这样，那么$\forall g_1,g_2\in G$，设$g_1=b^{i_1}a^{j_1},g_2=b^{i_2}a^{j_2}$，$g_1g_2=b^{i_1}a^{j_1}b^{i_2}a^{j_2}$。因为$a\in C$，可以与任何元素交换位置，因此$g_1g_2=a^{j_1+j_2}b^{i_1+i_2}=b^{i_2}a^{j_2}b^{i_1}a^{j_1}=g_2g_1$，因此$G$全集就是交换群，也即$|C|=p^2$，矛盾。

Qed.

总结

综上所述，Sylow定理描述了有限群的一般结构：如果群的大小$n$有因子$p^k$，那么一定能找到大小为$p^k$的子群。这样的子群中最大的$p^r$那个称为Sylow $p$-子群，Sylow $p$-子群的个数一定模$p$余1，且是$n/p^r$的因数。所有的Sylow $p$-子群两两共轭。