立体几何（高考版）

立体几何公理体系

公理

公理一

$A \in l,B \in l,A \in \alpha,B \in \alpha$

$\Rightarrow l \subset \alpha$

公理二

$A \in l,B \in l,C \notin l$

$\Rightarrow$有且只有一个$\alpha$满足$A \in \alpha, B\in \alpha,C\in \alpha$

公理三

$\alpha \neq \beta,P\in \alpha,P \in \beta$

$\Rightarrow\alpha \cap \beta=l,P \in l$

公理四

$l_1 \parallel l_2, l_2 \parallel l_3$

$\Rightarrow l_1 \parallel l_3$

定理与推论

公理二的推论

推论一

$A \notin l$

$\Rightarrow$有且只有一个$\alpha$满足$A\in\alpha,l \subset \alpha$

证明：

取$B\in l,C \in l,B \neq C$

则有且只有一个$\alpha$满足$A\in\alpha,B\in\alpha,C\in\alpha$（公理二）

$B\in\alpha, C\in\alpha$ 等价于 $l\in \alpha$（公理一）

证毕

推论二

$l_1 \cap l_2=P$

$\Rightarrow$有且只有一个$\alpha$满足$l_1\subset\alpha,l_2\subset\alpha$

证明：

取$A\in l_1,B\in l_2,A \neq P, B \neq P$

$\because l_1 \cap l_2=P \ \therefore B \notin l_1,P \in l_1,A \in l_1$

$\Rightarrow$有且只有一个$\alpha$满足$A\in\alpha,B\in\alpha,P\in\alpha$（公理二）

$A\in\alpha,B\in\alpha, P\in\alpha$ 等价于 $l_1\in \alpha,l_2\in\alpha$（公理一）

证毕

####推论三

$l_1 \parallel l_2$

$\Rightarrow$有且只有一个$\alpha$满足$l_1\subset\alpha,l_2\subset\alpha$

证明：

i)存在性

根据平行线的定义可知$\alpha$存在。

ii)唯一性

假设$\exist \beta \neq \alpha$满足$l_1 \subset \beta,l_2 \subset \beta$

则$\{l_1,l_2\}\subseteq \alpha\cap\beta$，不可能（公理三）

证毕

等角定理

$AO \parallel A'O',BO \parallel B'O'$

$\Rightarrow \ang AOB=\ang A'O'B'$

其中$\ang AOB$应理解为两直线相交所成的两个夹角中较小的那个（锐角或直角）

证明：

在$AO$上取$A_1O=a$，在$A'O'$上取$A_1'O'=a$

在$BO$上取$B_1O=b$，在$B'O'$上取$B_1'O'=b$

则四边形$A_1OO'A'_1,B_1OO'B'_1$为平行四边形

$\therefore A_1A_1'=OO'=B_1B'_1$，并且$A_1A'_1 \parallel OO', B_1B_1' \parallel OO'$

$\therefore A_1A'_1\parallel B_1B_1'$（公理四）

$\therefore$四边形$A_1A_1'B_1'B_1$为平行四边形

$\therefore A_1'B_1'=A_1B_1$

$\therefore \triangle A_1OB_1 \cong \triangle A_1'O'B_1'$

$\therefore \ang AOB = \ang A'O'B'$

###异面直线判定定理

$l_1 \subset \alpha,l_2 \cap \alpha=P, P \notin l_1$

$\Rightarrow l_1,l_2$异面

证明：

若$l_1,l_2$不异面，即存在$\beta$满足$l_1 \subset \beta,l_2 \subset \beta$

则$P \in \beta, P \notin l_1$

根据公理二推论一，$\beta$存在且唯一

则$\beta=\alpha$

则$l_2 \subset \alpha$，矛盾

证毕

###异面直线判定定理的推论

$AB$与$CD$异面

$\Rightarrow$ $AC$与$BD$异面

证明：

若$AC$与$BD$不异面，即$AC$与$BD$相交或平行

根据公理二推论二与推论三，有且只有一个$\alpha$满足$AC \subset \alpha,BD \subset \alpha$

则$A \in \alpha,B \in \alpha,C \in \alpha,D \in \alpha$

则$AB \in \alpha, CD \in \alpha$，矛盾

证毕

直线与平面平行的判定定理

$a \not\subset \alpha, b \subset \alpha,a \parallel b$

$\Rightarrow a \parallel \alpha$

证明：

$\because a \parallel b$

$\therefore$有且只有一个$\beta$满足$a \subset \beta, b \subset \beta$

又$\because b \subset \alpha$

$\therefore \alpha \cap \beta=b$

$\because a \cap b = \empty$

$\therefore a \cap \alpha = \empty$

$a \parallel \alpha$

证毕

直线与平面平行的性质定理

$a \parallel \alpha, a \subset \beta, b=\alpha \cap \beta$

$\Rightarrow a \parallel b$

证明：

$\because b \subset \alpha, a \parallel \alpha$

$\therefore a \cap b = \empty$

又$\because a \subset \beta, b \subset \beta$

$\therefore a \parallel b$

证毕

平面与平面平行的判定定理

$a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \cap b=P,a \parallel \beta,b \parallel \beta$

$\Rightarrow \alpha \parallel \beta$

证明：

若$\alpha \not\parallel \beta$，则$\alpha \cap \beta = l$

$\because a \parallel \beta \therefore a \parallel l$

$\because b \parallel \beta \therefore b \parallel l$

$\therefore a \parallel b$，矛盾

证毕

平面与平面平行的性质定理

$\alpha \parallel \beta, \gamma \cap \alpha = a, \gamma \cap \beta=b$

$\Rightarrow a \parallel b$

证明：

$\because a \subset \alpha, b \subset \beta, \beta \parallel \alpha$

$\therefore a \cap b = \empty$

$\because a \subset \gamma, b \subset \gamma$

$\therefore a \parallel b$

证毕

直线与平面垂直的判定定理

$a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \cap b = P,l \perp a, l \perp b$

$\Rightarrow l \perp \alpha$

证明：

若$l \not\perp \alpha$

则$\alpha$内所有与$l$垂直的直线都平行（需要用到夹角的单调性，证明从略）

则与$a \cap b = P$矛盾

证毕