02 勒贝格积分

非负函数的勒贝格积分的定义

对于$X$上的$\sigma$-algebra $\mathcal{S}$，如果$\mathcal{S}$中的有限个元素$A_1,\cdots,A_m$两两无交，且$\bigcup\limits_{i=1}^{m}A_i=X$，就称$\{A_i\}$是$X$的一个$\mathcal{S}$-partition。

在测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$中，对于任意非负的$S$-可测函数$f:X\to [0,\infty]$，对于给定的$S$-partition $P=\{A_i\}_{i=1}^m$，定义勒贝格下和(lower Lebesgue sum)为：

$$\mathcal{L}(f,P):=\sum\limits_{i=1}^{m}\mu(A_i)\cdot \left(\inf\limits_{x\in A_i}f(x)\right)$$

可以看到，这一定义是自然的。勒贝格下和在每个分划上对$f$取下确界（根据确界存在定理，下确界一定存在），然后乘以分划的测度，最后对所有乘积求和。 直观上，勒贝格下和总是小于“积分”的精确值。于是，勒贝格积分(Lebesgue integration)定义为全体勒贝格下和的上确界：

$$\int f \text{ d} \mu=\sup \{\mathcal{L}(f,P)\mid P\text{ is an }\mathcal{S}\text{-partition of }X\}$$

在勒贝格积分的定义中，符号$\text{ d}$ 并不表示“微分”或任何其它含义，它只是一个“分隔符”，用来把表示测度的$\mu$和表示函数的$f$分开。

注意到，勒贝格下和的定义中所取的分划是有限的。它就好像黎曼积分中的“达布下和”与“达布上和”一样，可以看作是“有限切分”逼近“无限切分”的过程。下面就来严格刻画这一过程：

单调收敛定理

给定测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，对于任意$E\in \mathcal{S}$，定义函数$\chi_E:X\to [0,\infty]$，其中$\chi_E(x)=1$当且仅当$x\in E$，否则$\chi_E(x)=0$。那么成立$\displaystyle\int \chi_E \text{ d} \mu=\mu(E)$。证明：设$P=\{E,X\setminus E\}$，这是一个$\mathcal{S}$-partition，因此$\displaystyle\int \chi_E \text{ d} \mu\geq\mu(E) \cdot 1+\mu(X\setminus E)\cdot 0=\mu(E)$；而对于任意$\mathcal{S}$-partition $P=\{A_i\}_{i=1}^{m}$，$\inf\limits_{x\in A_i}\chi_E(x)=1$当且仅当$A_i\subseteq E$，否则$\inf\limits_{x\in A_i}\chi_E(x)=0$。因此$\mathcal{L}(\chi_E,P)=\sum\limits_{i=1}^{m}\mu(A_i)\cdot \left(\inf\limits_{x\in A_i}\chi_E(x)\right)=\sum\limits_{A_i\subseteq E}^{m}\mu(A_i)$。因为$A_i$是两两无交的，所以由测度的定义$\sum\limits_{A_i\subseteq E}^{m}\mu(A_i)=\mu\left(\bigcup\limits_{A_i\subseteq E}A_i\right)$。而$\bigcup\limits_{A_i\subseteq E}A_i\subseteq E$，因此$\mu\left(\bigcup\limits_{A_i\subseteq E}A_i\right)\leq \mu(E)$。所以$\mathcal{L}(\chi_E,P)\leq \mu(E)$，也即$\displaystyle\int \chi_E\text{ d} \mu\leq \mu(E)$。综上可得$\displaystyle\int \chi_E \text{ d} \mu=\mu(E)$，证毕。

如果非负的$\mathcal{S}$-可测函数$f$只有有限个不同的取值，那么称$f$是一个简单函数(simple function)。设简单函数$f$的有限个取值分别为$c_1,\cdots,c_k$。记$E_i=f^{-1}(c_i)$，那么$\{E_i\}$构成一个$\mathcal{S}$-partition，并且对任意$x\in X$都有$f(x)=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\chi_{E_i}$。下面证明$\displaystyle\int f\text{ d} \mu=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\cdot \mu(E_i)$。证明：首先，$\mathcal{L}(f,\{E_i\})=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\cdot \mu(E_i)\leq \displaystyle\int f\text{ d} \mu$；对于任意$\mathcal{S}$-partition $P=\{A_i\}_{i=1}^{m}$，$\inf\limits_{x\in A_i}f(x)=\min\limits_{A_i\cap E_i\neq \varnothing}c_i$，所以$\mathcal{L}(f,P)=\sum\limits_{i=1}^{m}\mu(A_i)\cdot \left(\min\limits_{A_i\cap E_i\neq \varnothing}c_i\right)\leq\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{k}\mu(A_i\cap E_j)\cdot \left(\min\limits_{A_i\cap E_i\neq \varnothing}c_i\right)$。对于$\mu(A_i\cap E_j)\neq 0$的项，显然$A_i\cap E_j\neq \varnothing$，因此成立$\min\limits_{A_i\cap E_i\neq \varnothing}c_i\leq c_j$。所以上式小于等于$\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{k}\mu(A_i\cap E_j)c_j=\sum\limits_{j=1}^{k}c_j\cdot \mu(E_j)$。综上，$\displaystyle\int f\text{ d} \mu\leq \sum\limits_{i=1}^{k}c_i\cdot \mu(E_i)$。证毕。

如果$\mathcal{S}$-可测函数$f,g:X\to [0,\infty]$满足$\forall x\in X,f(x)\leq g(x)$，那么$\displaystyle\int f \text{ d} \mu \leq \int g \text{ d} \mu$，这就是勒贝格积分的保号性。保号性是显然的，因为对于任意$\mathcal{S}$-partition $P$，成立$\mathcal{L}(f,P)\leq \mathcal{L}(g,P)$。

可以发现，对于任意$\mathcal{S}$-可测函数$f:X\to [0,\infty]$，给定一个$\mathcal{S}$-partition $P$时，$\mathcal{L}(f,P)$本身就是一个简单函数。所以，$\displaystyle\int f \text{ d} \mu$恰好等于所有逐点小于$f$的简单函数的勒贝格积分的上确界。也即，$\displaystyle\int f\text{ d} \mu=\sup\{\int g \text{ d} \mu\mid f\geq g\land \text{ }g\text{ is simple}\}$。

最后我们证明：设$0\leq f_1\leq f_2\leq \cdots$是一列单调递增的$\mathcal{S}$-可测函数，定义$f:X\to [0,\infty]$满足$\forall x\in X,f(x):=\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)$，那么成立

$$\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \text{ d}\mu = \int f\text{ d} \mu$$

这称为单调收敛定理(Monotone Convergence Theorem, MCT)。因为我们引入了符号$\infty$，所以$f(x)$在每一点处都是有定义的。下面证明单调收敛定理：我们证明过可测函数列的极限函数也是可测的，因此$f$是可测的。根据定义，$\forall k,f\geq f_k$，因此$\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \text{ d}\mu \leq \int f\text{ d} \mu$。那么只需证$\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \text{ d}\mu \geq \int f\text{ d} \mu$。由上一段的观察，只需证明对于任意简单函数$g$，如果$f\geq g$，则$\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \text{ d}\mu \geq \int g\text{ d} \mu$。固定一个这样的$g$，不妨设$g$由分划$P=\{A_i\}_{i=1}^{m}$与常数$\{c_i\}$定义，也即$g(x)=\sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)$，且满足$f(x)\geq \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)$。当前的证明目标是$\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \text{ d}\mu \geq \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i)$，但是并不一定成立$\forall k,\displaystyle\int f_k \text{ d}\mu \geq \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i)$。为此，我们技巧性地引入一个常数$t\in (0,1)$，令$E_k:=\{x\mid f_k(x)\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)\}$。可见，$E_1\subseteq E_2\subseteq \cdots$。因为$\forall x\in X,\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)$，所以$\forall x,\forall\varepsilon\exists N>0$使得$\forall n>N,f(x)-f_n(x)\leq\varepsilon$。取$\varepsilon=f(x)-t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)$，可见$f_n(x)\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)$。可见$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}E_k=X$。于是，对于任意$A_i$，$\mu(A_i)=\mu\left(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}(A_i\cap E_k)\right)$，由测度的连续性可知$\mu(A_i)=\lim\limits_{k\to\infty}\mu(A_i\cap E_k)$。现在，$\forall x\in E_k$我们有$f_k(x)\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i}(x)$。这等价于，$\forall x\in X$，$f_k(x)\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\chi_{A_i\cap E_k}(x)$。两边同时求勒贝格积分，可得$\displaystyle\int f_k(x) \text{ d}\mu\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i\cap E_k)$。两边同时令$k\to\infty$，可得$\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int f_k(x) \text{ d}\mu\geq t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\lim\limits_{k\to\infty}\mu(A_i\cap E_k)=t\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i)$。再令右式中的$t\to 1$，就得到了$\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int f_k(x) \text{ d}\mu\geq\sum\limits_{i=1}^{m}c_i\mu(A_i)$。证毕。

用简单函数逼近

单调收敛定理告诉我们，我们可以用一列上升的逼近$f$的函数的积分来逼近$f$的积分，这符合我们对于非负函数的积分的直观。特别地，这列上升的函数可以取简单函数，简单函数拥有所有我们熟悉的运算性质。下面我们来证明，任意非负的$\mathcal{S}$-可测函数$f$，存在一列上升的简单函数列$f_1,f_2,\cdots$，满足$\forall x\in X,\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)$：

我们这样定义$f_k$：对任意$x\in X$，若$f(x)\geq k$，则令$f_k(x):=k$；否则令$f_k(x):=m$，其中$f(x)\in \left[\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right)$。也就是说，对于每个$k$，我们把区间$[0,k]$等分为$2^k$小段，取$f(x)$所落在的小段的左端点作为$f_k(x)$的取值，这样对于任意$k$都有$f_k$是简单函数。同时可以看到，这样的切分在$k$增大的过程中会保留上一轮的切分点，这保证了$f_k$是上升的函数列。最后，我们来验证$\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)$：对于任意$k$，我们有$f(x)-f_k(x)\leq \dfrac{1}{2^k}$。因此$\forall \varepsilon>0$，可以取$N=\left\lceil\log_2(1/\varepsilon)\right\rceil$，则$\forall n>N,f(x)-f_n(x)\leq \varepsilon$（可以看到$N$的取值与$x$无关，因此实际上我们得到的是“一致收敛”，后面我们将会严格定义一致收敛）。证毕。

由此，可以证明勒贝格积分的线性性：

$$\displaystyle\int (f+g)\text{ d} \mu=\int f\text{ d}\mu+\int g \text{ d} \mu$$

证明：由上一段的证明，存在一列上升的简单函数列$\{f_k\}$收敛到$f$，存在一列上升的简单函数列$\{g_k\}$收敛到$g$。根据极限的加法运算性质，函数列$\{f_k+g_k\}$收敛到$f+g$。函数列$\{f_k+g_k\}$也是单调上升的，因此由单调收敛定理可得$\displaystyle\int (f+g)\text{ d}\mu=\lim\limits_{k\to\infty}\int (f_k+g_k)\text{ d}\mu$。因为$f_k,g_k$是简单函数，显然简单函数的勒贝格积分有线性性，因为这只是有限项的加法运算。所以$\displaystyle \int (f_k+g_k)\text{ d}\mu=$ $\displaystyle \int f_k\text{ d}\mu+\int g_k\text{ d}\mu$。因此$\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int (f_k+g_k)\text{ d}\mu=\lim\limits_{k\to\infty}\int f_k \text{ d}\mu+\lim\limits_{k\to\infty}\int g_k \text{ d}\mu$ $=\displaystyle \int f \text{ d}\mu+\int g\text{ d}\mu$。

实值函数的勒贝格积分

定义

对于实值函数$f:X\to [-\infty,+\infty]$（这里引入正无穷符号和负无穷符号，方便书写）的勒贝格积分，我们可以做下面的分解，将问题还原为非负函数的勒贝格积分：令$f^+(x):=f(x)$如果$f(x)\geq 0$，否则$f^+(x):=0$；令$f^-(x):=-f(x)$如果$f(x)< 0$，否则$f^-(x):=0$。于是，$f=f^+-f^-$，$|f|=f^++f^{-1}$。

对于实值函数$f$，其勒贝格积分定义为：

$$\int f \text{ d} \mu:=\int f^+ \text{ d} \mu-\int f^- \text{ d}\mu$$

性质

可以验证上述定义的勒贝格积分满足：

• 线性性：$\displaystyle\int (f+g)\text{ d} \mu=\int f\text{ d}\mu+\int g \text{ d} \mu$；
• 齐次性：$\displaystyle\int cf\text{ d} \mu=c\int f\text{ d}\mu$；
• 保号性：如果$f\leq g$，则$\displaystyle\int f\text{ d} \mu\leq\int g\text{ d}\mu$；
• 绝对值不等式：$\displaystyle\left|\int f\text{ d}\mu\right|\leq \int |f|\text{ d}\mu$；

Almost Every

我们用记号$\displaystyle\int _E f\text{ d}\mu$表示$\displaystyle\int \chi_E f\text{ d}\mu$，表示把积分区分限制在集合$E$上。有时为了强调，也把$\displaystyle\int f\text{ d}\mu$记为$\displaystyle\int_X f\text{ d}\mu$。

给定测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，假如函数$f,g$只在一个测度为0的集合上不相等，那么$f,g$的勒贝格积分相等。这说明，零测集上函数的取值不影响积分值。证明：设$E:=\{x\mid f(x)\neq g(x)\}$，且$\mu(E)=0$。那么$\displaystyle\int _{X\setminus E}f\text{ d}\mu=\int _{X\setminus E} g\text{ d}\mu$。同时$\left|\displaystyle\int _E f\text{ d}\mu\right|\leq \left| \mu(E)\right|\cdot \sup\limits_{x\in E}|f(x)|=0$，因此$\displaystyle\int _E f\text{ d}\mu=0$。同理$\displaystyle\int _E g\text{ d}\mu=0$。因此$\displaystyle\int _X f \text{ d}\mu=\displaystyle\int _{X\setminus E} f \text{ d}\mu+\int_E f\text{ d}\mu=\displaystyle\int _{X\setminus E} g \text{ d}\mu+\int_E g\text{ d}\mu=\int_X g\text{ d}\mu$。

可见，有关积分的性质对于函数在零测集上的行为并不敏感。所以，测度论中经常用“几乎处处(almost every, a.e.)”这个词排除那些我们并不关心的零测集。其精确的含义是，如果对于测度空间$(X,\mathcal{S},\mu)$，某性质在$E\in \mathcal{S}$上成立，且$\mu(X\setminus E)=0$，我们就说该性质“几乎处处”成立。

勒贝格积分理论并没有为我们提供“高效的计算”积分的方法。然而，对于实数函数，可以证明如果把测度$\mu$取为勒贝格测度，那么（对于黎曼可积的函数而言）黎曼积分的结果和勒贝格积分的结果是相同的。其中，黎曼可积当且仅当函数“几乎处处”连续（间断点集合的勒贝格测度为0）。

积分与极限的可交换性

我们可以从这样一个角度看单调收敛定理：我们可以像这样做极限符号和积分符号的交换$\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \text{ d}\mu = \int f\text{ d} \mu$，如果函数列$f$满足条件“每个函数都非负且函数列单调递增”。在分析学中，“极限符号的位置交换”是应用范围非常广泛的一类性质。

首先，我们用反例来说明，积分与极限并不总是可交换的。定义测度空间$([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\mu)$，其中$\mu$是勒贝格测度。令$f_n=n \cdot \mathbb{1}_{[\frac{1}{n},\frac{2}{n}]}$。那么$\forall n\in \N$，$\displaystyle\int_{[0,1]} f_n\text{ d}\mu=n\cdot(\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n})=1$。然而$\forall x\in [0,1]$，$\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0$。所以$f_n$点态收敛到$f$，$f$是全零函数。那么$\displaystyle\int_{[0,1]} f\text{ d}\mu=0$。可见$\displaystyle\int_{[0,1]} f_n\text{ d}\mu\neq\displaystyle\int_{[0,1]} f\text{ d}\mu$。

下面我们就来探索，除了“单调收敛定理”之外，还有哪些条件允许我们做这样的位置交换。

一致收敛

在研究积分与极限的可交换性时，引入“一致收敛”的概念会使讨论方便很多。函数列收敛的这一性质已经在我们用简单函数逼近非负函数时出现过了。我们到目前为止所讨论的函数列收敛都是指点态(pointwise)收敛：如果$\forall x\in X$，都有$\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)$，就称函数列$f_k$点态收敛到$f$。把极限按照定义展开，上述定义写作$\forall x\in X,\forall \varepsilon>0,\exists N>0,\forall k>N,|f(x)-f_k(x)|\leq \varepsilon$。

如果把点态收敛中的量词$\forall x\in X$移到最里面：$\forall \varepsilon>0,\exists N>0,\forall k>N,\forall x\in X$，$|f(x)-f_k(x)|\leq \varepsilon$，就称为函数列$f_k$一致收敛(uniformly converge)到$f$。显然，一致收敛的函数列一定点态收敛。但是一致收敛的描述要求更高。在点态收敛中，不同的$x$处“收敛速度”可能是不同的，可能$x_1$处以$O(1/n)$的速度收敛，$x_2$处以$O(1/n^3)$的速度收敛等等。而一致收敛直观上要求函数列$f_k$在每个点$x$上的“收敛速度”要是一致的。我们来举一个点态收敛但是不一致收敛的例子：设$f,\{f_k\}:[-1,1]\to \R$，其中$x\neq 0$时$f(x)=1$，$f(0)=2$；$x\in [-1,-1/k]\cup [1/k,1]$时$f_k(x)=1$，$x\in (-1/k,1/k)$时$f_k(x)=2-k|x|$。那么对于任意$x\neq 0$，当$k$足够大时都有$f_k(x)$恒等于$1$，因此收敛到$f(x)$；而对任意$k$都有$f_k(0)=2$，因此$f_k(0)$收敛到$f(0)$。所以$f_k$点态收敛到$f$。但是我们可以证明$f_k$并不一致收敛到$f$：只需证$\exists \varepsilon,\forall N>0,\exists k>N,$ $\exists x\in [-1,1],$ $|f(x)-f_k(x)|>\varepsilon$。令$\varepsilon=1/2$，任给一个$N>0$，取$k=N+1,x=-1/3k$，那么$f(x)=1$，$f_k(x)=2-1/3=5/3$。因此$f(x)-f_k(x)=2/3>1/2$。证毕。

下面这个定理称为Egorov定理，它指出点态收敛的函数列“几乎”就是一致收敛的，只需抠除一个任意小测度的集合，点态收敛就可以变成一致收敛。在之后的证明中，我们将会多次用到Egorov定理，其精确表述为：设$\mu(X)<\infty$，如果函数列$\{f_k\}:X\to \R$点态收敛到$f:X\to \R$，则对于任意$\varepsilon$，存在集合$E\in\mathcal{S}$使得$\mu(X\setminus E)<\varepsilon$并且$\{f_k\}$在$E$上一致收敛到$f$。证明：任意给定一个整数$n$。因为$f_k$点态收敛到$f$，所以对于任意$x\in X$都存在一个$m\in \N$使得$\forall k\geq m,$ $|f(x)-f_k(x)|<\dfrac{1}{n}$。所以，$\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=m}^{\infty}\{x\in X\mid |f(x)-f_k(x)|<\dfrac{1}{n}\}=X$。记$A_{m,n}:=\bigcap\limits_{k=m}^{\infty}\{x\in X\mid |f(x)-f_k(x)|<\dfrac{1}{n}\}$，那么$\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}A_{m,n}=X$。其中，$A_{1,n}\subseteq A_{2,n}\subseteq \cdots$是一列上升的集合，由测度的连续性可知$\mu(X)=\mu\left(\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}A_{m,n}\right)=\lim\limits_{m\to\infty}\mu(A_{m,n})$。由实数数列的极限的定义，$\forall \varepsilon>0,\exists M_n>0,\forall m_n>M_n,\mu(X)-\mu(A_{m_n},n)<\varepsilon/2^n$。现在，对于每个固定的$\varepsilon$，令$n$从1取到无穷大，对于每个$n$都存在一个$M_n$，对于每个$n$我们固定一个$m_n$。令定理中的$E:=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_{m_n,n}$，我们证明$\mu(X\setminus E)<\varepsilon$，并且$\{f_k\}$在$E$上一致收敛到$f$。$\mu(X\setminus E)=\mu(X\setminus \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_{m_n,n})=\mu(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(X\setminus A_{m_n,n}))$，根据Union Bound，$\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(X\setminus A_{m_n,n})=\sum\limits_{n=1}^{\infty}[\mu(X)-\mu(A_{m_n,n})]<\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon$。再证一致收敛，对于任意$\varepsilon'>0$，取一个$n>1/\varepsilon'$以及对应的$m_n$，根据$E$的定义有$E\subseteq A_{m_n,n}$。也即$\forall x\in E,x\in A_{m_n,n}$。也即$\forall x\in E$，都有$\forall k\geq m_n,|f(x)-f_k(x)|<\dfrac{1}{n}<\varepsilon'$。也即$\{f_k\}$在$E$上一致收敛到$f$。

注意，Egorov定理只在$\mu(X)$有限时成立。例如，这说明如果使用勒贝格测度，那么$\R$下Egorov定理并不成立。在下面的部分也要注意这一条件的限制。

有界收敛定理

我们将要得到的第一个极限和积分可交换的条件是函数列的“有界性”。设$\mu(X)<\infty$，如果$\{f_k\}$点态收敛到$f$，并且存在一个常数$C\in(0,\infty)$使得$\forall k\in \N,\forall x\in X,|f_k(x)|\leq C$，那么$\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \text{ d}\mu = \int f\text{ d} \mu$。这称为有界收敛定理(Bounded Convergence Theorem, BCT)。

注意，上面这个条件中常数$C$是关于全体$k$的常数，严格来说这个条件称为“一致有界(uniformly bounded)”。有界收敛定理的条件并不是“一列有界函数点态收敛”，而是“一列一致有界的函数点态收敛”。

证明：要证$\forall \varepsilon>0,\exists N>0,\forall k>N,\left| \displaystyle\int f_k\text{ d}\mu-\int f\text{ d}\mu \right|<\varepsilon$。固定$\varepsilon$，由Egorov定理可知存在$E\in \mathcal{S}$使得$\mu(X\setminus E)<\varepsilon/4C$，并且$\{f_k\}$在$E$上一致收敛到$f$。我们有$\displaystyle\left| \int f_k\text{ d}\mu-\int f\text{ d}\mu \right|=\left|\int _{X\setminus E}f_k\text{ d}\mu+\int_E f_k\text{ d}\mu-\int_{X\setminus E}f\text{ d}\mu-\int_E f\text{ d}\mu\right|$ $\leq\displaystyle\int _{X\setminus E}|f_k|\text{ d}\mu+\int_{X\setminus E} |f|\text{ d}\mu+\int_E |f_k-f|\text{ d}\mu\leq C\cdot \mu(X\setminus E)+C\cdot \mu(X\setminus E)$ $+\mu(E)\cdot \sup\limits_{E}|f_k-f|=\varepsilon/2+\mu(E)\cdot \sup\limits_{x\in E}|f_k(x)-f(x)|$。因为$E$上$f_k$一致收敛，所以$\exists N,\forall k>N,\forall x\in E,|f_k(x)-f(x)|<\dfrac{\varepsilon}{2\mu(E)}$（这一步用到了$\mu(E)\leq \mu(X)<\infty$）。所以$\mu(E)\cdot\sup\limits_{x\in E}|f_k(x)-f(x)|<\varepsilon/2$。综上所述，$\displaystyle\left| \int f_k\text{ d}\mu-\int f\text{ d}\mu \right|<\varepsilon$，证毕。

有界收敛定理中的条件可以弱化为“几乎处处有界”。也即，如果存在$E\in \mathcal{S}$，使得$\mu(X\setminus E)=0$，那么只需$f_k$在$E$上点态收敛到$f$，且$\forall k\in \N,\forall x\in E,|f_k(x)|\leq C$，极限和积分就可交换（正是因为$\displaystyle\int f_k \text{ d}\mu = \int_E f_k\text{ d}\mu$，$\displaystyle\int f\text{ d} \mu=\int_E f\text{ d}\mu$）。

控制收敛定理

下面这个定理是有界收敛定理的推广：设$\mu(X)<\infty$，如果$\{f_k\}$几乎处处点态收敛到$f$，且存在一个$\mathcal{S}$-可测函数$g:X\to [0,\infty]$使得$\displaystyle\int g \text{ d}\mu<\infty$，并且对任意$k$以及几乎所有$x\in X$满足$|f_k(x)|\leq g(x)$，那么$\displaystyle\lim\limits_{k\to \infty}\int f_k \text{ d}\mu = \int f\text{ d} \mu$。在这个定理中，函数$g$就好像“控制”住了$f$，所以称为控制收敛定理(Dominated Convergence Theorem)。

对任意$E\in \mathcal{S}$，$\displaystyle\left|\int f_k\text{ d}\mu-\int f\text{ d}\mu\right|=\left|\int_{X\setminus E} f_k\text{ d}\mu+\int_{E} f_k\text{ d}\mu-\int_{X\setminus E} f\text{ d}\mu-\int_{E} f_k\text{ d}\mu\right|$ $\leq \left|\displaystyle\int_{X\setminus E}f_k \text{ d}\mu\right|+\left|\displaystyle\int_{X\setminus E}f \text{ d}\mu\right|+\left|\displaystyle\int_{E}f_k \text{ d}\mu-\int_{E}f \text{ d}\mu\right|$ $\leq 2\displaystyle\int_{X\setminus E} g\text{ d}\mu+\left|\displaystyle\int_{E}f_k \text{ d}\mu-\int_{E}f \text{ d}\mu\right|$。

对于任意$\varepsilon>0$，我们证明存在$\delta>0$使得$\forall B\in \mathcal{S}$，只要$\mu(B)<\delta$就有$\displaystyle\int_B g\text{ d}\mu<\varepsilon$。这是一个对任意积分有限的非负函数都成立的性质，它说明为了让积分任意小，只需缩小积分的范围（的测度）。证明如下：对于任意$\varepsilon$，我们可以找到一个简单函数$h$使得$0\leq h\leq g$，并且$\displaystyle\int g\text{ d}\mu-\int h\text{ d}\mu<\varepsilon/2$。为了找到这样的$h$，只需采用我们在“简单函数逼近”一节中采用的办法，把区间切成$2^k$份。因为$h$有界，因此存在最大值，记为$H$。取定一个$\delta$，满足$\delta<\dfrac{\varepsilon}{2H}$。于是，对于任意$\mu(B)<\delta$，有$\displaystyle\int _B g\text{ d}\mu=\int_B (g-h)\text{ d}\mu+\int_B h\text{ d}\mu\leq \int (g-h)\text{ d}\mu+H\cdot \mu(B)<\dfrac{\varepsilon}{2}+H\cdot \dfrac{\varepsilon}{2H}=\varepsilon$。证毕。

于是，对于$2\displaystyle\int_{X\setminus E} g\text{ d}\mu+\left|\displaystyle\int_{E}f_k \text{ d}\mu-\int_{E}f \text{ d}\mu\right|$一式，对任意的$\varepsilon$存在$\delta$，使得$\mu(B)<\delta$可以推出$\displaystyle\int_B g\text{ d}\mu<\varepsilon/4$。根据Egorov定理，存在$E\in \mathcal{S}$使得$\mu(X\setminus E)<\delta$且$f_k$在$E$上一致收敛到$f$。所以原式$<\dfrac{\varepsilon}{2}+\left|\displaystyle\int _E(f_k-f)\text{ d}\mu\right|$。因为$\mu(E)<\infty$，所以$\left|\displaystyle\int _E(f_k-f)\text{ d}\mu\right|$这一项随着$k$增大可以任意小。综上，我们就证明了$\lim\limits_{k\to\infty}\displaystyle\left|\int f_k\text{ d}\mu-\int f\text{ d}\mu\right|=0$，也即$\lim\limits_{k\to\infty}\displaystyle\int f_k\text{ d}\mu=\int f\text{ d}\mu$。

下面我们来证明，控制收敛定理在$\mu(X)=\infty$时也成立。换言之，控制收敛定理中不需要$\mu(X)<\infty$这一限制条件。

首先，对于任意$\varepsilon>0$，我们证明存在$E\in \mathcal{S}$使得$\mu(E)<\infty$，且$\displaystyle\int_{X\setminus E} g\text{ d}\mu<\varepsilon$。这也是一个对任意积分有限的非负函数都成立的性质，它说明即便全集的测度无限大，但积分值几乎都是一个测度有限的集合贡献的。证明如下：对于任意$\varepsilon$，我们都可以找到一个足够大的勒贝格下和$\mathcal{L}(g,P)$使得$\displaystyle\int g\text{ d}\mu<\varepsilon+\mathcal{L}(g,P)$。设$P=\{A_i\}^{m}_{i=1}$，令$E:=\bigcup\{A_i\mid \inf\limits_{x\in A_i}g(x)>0\}$。我们有$\mu(E)<\infty$，因为如果$\mu(E)=\infty$，就意味着$\displaystyle\int g\text{ d}\mu=\infty$，矛盾。所以，$\displaystyle\int_{X\setminus E} g\text{ d}\mu=\int g\text{ d}\mu-\int \chi_E g\text{ d}\mu<\varepsilon+\mathcal{L}(g,P)-\mathcal{L}(\chi_Eg,P)$。根据$E$的定义，不属于$E$的$A_i$会让$g$的下确界取到$0$，因此$\mathcal{L}(g,P)=\mathcal{L}(\chi_E g,P)$，证毕。

于是，在控制收敛定理中，我们可以找到这样的$\mu(E)<\infty$使得$\displaystyle\int_{X\setminus E} g\text{ d}\mu<\varepsilon/4$再一次成立。之后重复相同的证明即可。

参考资料

[1] Sheldon Axler Measure, Integration & Real Analysis