最小作用量原理

牛顿定律可以不写成$F= ma$的形式而表述成：一物体从一点到另一点所走的路径总是使其关于时间的平均动能减去平均势能最小（不考虑非保守力，故能量只有动能和势能）。“平均动能减去平均势能”这个量被称为“作用量”，这一力学定律的等价表述形式称为“最小作用量原理”。

例如，让我们考虑物体不受力时，沿$x$轴从$x_1$运动到$x_2$，初始速度为$v_0$。牛顿定律告诉我们，物体将保持匀速直线运动。让我们来考虑最小作用量原理如何给出物体的运动：设$x(t_1)=x_1,x(t_2)=x_2$，物体运动过程中，将使得$\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\left[\dfrac{1}{2}mv^2-0\right]\text{d} t$尽可能小。也即我们要求使得$\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\left(\dfrac{\text{d} x}{\text{d} t}\right)^2\text{d} t$最小的函数$x$。设拉格朗日函数$L(t,y,y')=(y')^2$，代入欧拉-拉格朗日方程$\dfrac{\partial L}{\partial y}=\dfrac{\text{d}}{\text{d} t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial y'}\right)$可得$\dfrac{\text{d} v}{\text{d} t}=0$。可见根据最小作用量原理，物体也做匀速直线运动。

现在考虑物体受沿$x$轴负方向的重力。牛顿定律告诉我们，物体将获得沿$x$轴负方向的加速度$g$。让我们来考虑最小作用量原理如何给出物体的运动：设$x(t_1)=x_1,x(t_2)=x_2$，物体运动过程中，将使得$\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\left[\dfrac{1}{2}mv^2-mgx\right]\text{d} t$尽可能小。也即我们要求使得$\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\left[\left(\dfrac{\text{d} x}{\text{d} t}\right)^2-2gx\right]\text{d} t$最小的函数$x$。设拉格朗日函数$L(t,y,y')=(y')^2-2gy$，代入欧拉-拉格朗日方程$\dfrac{\partial L}{\partial y}=\dfrac{\text{d}}{\text{d} t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial y'}\right)$可得$\dfrac{\text{d} v}{\text{d} t}=-g$。可见根据最小作用量原理，物体也获得沿$x$轴负方向的加速度$g$。