09 静电学 Electrostatic

全部电磁学都包含在麦克斯韦方程组中，而这些方程描述的情况十分复杂。其中最简单的情况是任何事物都与时间无关——静态——的情况。这样我们首先就能在方程组中消去与时间有关的项。把静态的方程写出来之后，我们发现前两个方程只与电场有关，后两个方程只与磁场有关。这意味着只要电荷（和电流）是静止的，电和磁就是两个性质不同的现象。虽然我们知道磁场本质上只是电场的一种相对论效应。因此我们的第一个讨论的内容就是静电学。

静电学定律

静电学的全部方程是：$\nabla \cdot E=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}; \ \nabla \times E=0$。我们将看到这两个方程可以等价地用“库仑定律+叠加原理”来描述。库仑定律指出$F=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{r^2}$，叠加原理指出作用于任一电荷上的力等于其他每一电荷对它所施加的库仑力的矢量和。根据库仑定律和叠加原理，给出空间中所有位置的电荷分布就可以求出整个空间的电场，对于每个位置只需对每个电荷产生的场累加：$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum \dfrac{q}{r^2}$。在这里，电荷是离散分布的。但在大尺度下很多时候把它们想象成连续分布的会很方便。由此我们可以定义电荷密度$\rho$，$\Delta q=\rho \Delta V$，即电荷密度等于某一体积微元中的电荷数除以体积。于是场的计算可以近似为$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int \dfrac{\rho}{r^2}dV$。库仑定律与叠加原理也能完整的描述全部静电学。

但为了让事情变得更清晰明了，我们还要学习一些数学技巧。首先是电势$\phi$，这是从能量的角度看库仑力。两点之间电场沿某一路径的曲线积分是与路径无关的，这是静电场的性质，静电场的电场力是保守力。因为如果存在两条路径电场的积分不相等，那么就存在一个电场力做功不为0的回路，我们就能源源不断从场中获得能量。然而静电场的场源电荷是固定的，无法提供能量。更精确地，我们实际上可以从库仑定律出发直接计算得到该积分确实是与路径无关的，这本质上就是由于单个电荷形成的电场是径向的，因此电场力在球面上必定不做功，积分结果只与径向距离有关。于是当我们选定一个起点时，每个点到这个点的积分就变成了一个关于位置的函数，这个函数就称为静电势。我们常把参考点取在无限远，认为无穷远处电势为0。显然电势也满足叠加原理，因为积分是线性运算。于是对于距离相近的两点，满足$\Delta \phi=E_x\Delta x+E_y\Delta y+E_z\Delta z$。于是$\dfrac{\part \phi}{\part x}=E_x,\dfrac{\part \phi}{\part y}=E_y,\dfrac{\part \phi}{\part z}=E_z$，即$\nabla \phi=E$（不考虑正负号）——电势的微分（特别的，梯度这种微分）就是电场强度。而根据梯度的旋度一定为0（$\nabla \times (\nabla f)=0$，梯度场是无旋场），我们得知静电场一定是无旋场。$\nabla \times E=0$。事实上我们已经证明过这一点， 因为无旋场等价于任何环路的积分都要为0，正是因为如此我们才得以定义电势的概念。而其实所有关于电势的这一切都是库仑定律的等价描述， 根据叠加原理一切静电场都可以还原为静止的点电荷，静止点电荷产生的电场力就是径向球对称的力，很容易发现这样的场是有势的、无旋的。

另一个概念是通量。电场在某一曲面上的通量定义为电场在曲面上的法向分量在曲面上的积分。这一概念的诞生和热流、光能很类似，一个恒定光源发射出的光朝各个方向扩散，无论远近，某个球面包围一个光源时球面上的能量一定是恒定的。这个“光能”恰好可以类比电场的通量，为了使这个通量在各个距离上相等，电场力必须是随着距离成平方反比变化的，因为面积是平方正比变化的。现在对于一个点电荷考虑某个闭合曲面的通量，曲面不包含电荷，我们把它分割成无数个小体积元，每个体积元落在点电荷出发的一个小角上，这个体积元的通量一定为0。于是我们证明了任何不包含电荷的曲面的电通量一定为0，根据叠加原理这个结论可以推广到任何电场。而当曲面包含点电荷时，我们用一个小球扣掉点电荷，这就证明了小球的电通量在数值上和大曲面相等，小球的电通量$\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{r^2} \cdot 4\pi r^2=\dfrac{q}{\epsilon_0}$，是个定值。这样我们最终得到了一个一般的结论，任意闭曲面的电通量等于曲面的电荷$q$除以常数$\epsilon_0$。这就是高斯定理：$\displaystyle\int_S \vec{E} \cdot \vec{n} \ dS=\dfrac{Q_{内}}{\epsilon_0}$。$Q_{内}$可以用电荷密度表示为$\displaystyle\int_S \rho\ dV$。写成微分形式，根据Gauss公式体积微元的电通量就等于$(\nabla \cdot E)dV$，右边一项写成$\rho dV/\epsilon_0$，所以高斯定理可以写成$\nabla \cdot E=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}$。

从上述推导可以看出，高斯定理乃是起因于库仑力的幂指数精确地等于2这个事实。如果这个幂指数与2有一点点的偏差，我们的数学推导就不会得出这个精确的结论。从库伦定律出发我们已经推出了$\nabla \cdot E=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}; \ \nabla \times E=0$这两个公式，而从他也可以直接推出点电荷的电场分布恰好满足库仑定律（利用球对称性）。因此库仑定律（和叠加原理）与这两个静电学基本方程是等价的。

我们可以把静电学的两个麦克斯韦方程合并成一个。第二个方程其实只是指出电场是有势场，因此我们把$E=-\nabla \phi$代入第一个方程就得到$\nabla \cdot \nabla \phi=-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}$。其中，$\nabla \cdot \nabla \phi=(\dfrac{\part }{\part x},\dfrac{\part }{\part y},\dfrac{\part }{\part z})\cdot (\dfrac{\part \phi}{\part x},\dfrac{\part \phi}{\part y},\dfrac{\part \phi}{\part z})=(\dfrac{\part^2 \phi}{\part x^2},\dfrac{\part^2\phi}{\part y^2},\dfrac{\part^2 \phi}{\part z^2})$，我们把它记为$\nabla^2 \phi$，其中$\nabla^2$称为拉普拉斯算子。从数学观点看，整个静电学就是在学习$\nabla^2\phi=-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}$的解，这个方程称为“泊松方程”。

迄今为止我们用实验验证了库仑定律在$10^{-15}$m的尺度下都是严格正确的，但在$10^{-16}$m时显得比预期弱十倍。某种程度上库仑定律失效了。但也可以认为，库仑定律依然成立，是我们对电子和质子的认识尚不完全。

静电平衡

在固定电荷形成的电场（即静电场）中，试探电荷是否可能处于平衡，以及能否处于稳定平衡呢？平衡是容易达成的，因为平衡只要求受力恰好为0。而稳定平衡呢？稳定平衡要求电荷离开任意方向一小段距离都会受到回复力，换言之它处在一个势能的极小值点因此扰动以后电荷能够在“碗底”平衡住。然而这在静电场中是不可能的，因为这样一个任意方向都存在的回复力可以描述为：包围该点的一小圈闭合曲面上力——场——的通量为负。而根据高斯定理，这说明曲面内部有电荷。我们当然不考虑试探电荷刚好与场源电荷重合的情况，因此在空间的任何位置都不可能存在稳定平衡。用数学语言描述实际上就是说，稳定平衡要求力的散度为负，而静电场的散度处处为0。

事实上，不仅对于固定电荷形成的电场，对于某个其中有可自由运动的电子的导体形成的电场，也不存在稳定平衡点。如果我们要求试探电荷的扰动对导体中电子的重新分布能够产生一个回复力的话，这个力将做负功，导致总体电势能增大。而考虑到电荷在导体上重新分布时势必会有能量损失，因此电荷的运动只能在总电势能减小的情况下发生，矛盾。

正是因为静电场中不存在稳定平衡，所以把物质想象成受经电学定律支配肯定是不合适的。最初的汤姆孙原子模型就把原子结构想象成了静态的，很快被实验证明错误了。

下面考虑导电体。与固定点荷不同，导电体是含有许多自由电子的固体。当一个导电体被放置到某个电场（静电场）中时，电子会受到电场作用而运动。而运动的最终结果一定是所有电荷都受力为0，因为只要有一个电荷受力不为0它就将继续运动。这样一个静电态通常能在远小于1s的时间内发生。对于实心的导体来说，由于内部场强处处为0，因此整个导体成为了一个等势体，外部的电场线与表面垂直。由于场强为0，因此场的散度也处处为0，根据高斯定律说明导体的电荷密度处处为0。在表面选取一个小柱形盒运用高斯定理，就可以算出$E \cdot S=\sigma \cdot S/\epsilon_0$，即$E=\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$，即导体表面附近的场强正比于该处的电荷密度。

如果导电体是中空的，那么空腔内的场如何呢？将高斯面夹在导电体的外表面与内表面之间，显然电通量为0，因此根据高斯定律得到空腔及导体内表面的总电荷为0。但是否可能是一边分布着正电荷一边分布着负电荷呢？事实上是不可能的，此时的导电体已经形成一个静电场了，如果内表面上又有正电荷又有负电荷，那么很容易构造一条环路，它沿着某条电场线从正电荷到负电荷，再从0电场的导体内部返回原点，这样的一条环路的电场积分就不为0了，矛盾。这个现象称为“静电屏蔽”，一个空腔导体的外部的任何静止电荷都不能在空腔内产生任何电场。同样的方法可以证明空腔内的任何电荷都不能在外部产生任何场。在静电学中，一个闭合导体壳两边的场是“独立”的。

各种情况下的电场

一根十分长的均匀带电棒（电荷线密度为$\lambda$）的电场可以用积分得出，也可以用高斯定律求出。由于空间的对称性，电场方向一定是径向的，并且是圆柱形对称的。对于距离棒$r$处的一点，过该点取一个任意某个宽度$L$的圆柱面，便可以列出通量$E \cdot 2\pi r \cdot L=L\lambda/\epsilon_0$，于是$E=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$。

无穷大的均匀带电平面（电荷面密度为$\sigma$）的电场也可以这样求出。根据对称性电场方向一定垂直于平面且左右对称，因此以面为中心取一个边长为$L$的立方体，就可以列出$E \cdot 2L^2=L^2\sigma/\epsilon_0$，于是$E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$。我们得出的结果与距离无关，也就是说无穷大平面产生的电场是匀强电场。

根据叠加原理不难看出两个带相等相反电荷的无穷大平面产生的电场，在两板外侧互相抵消$E=0$，在内侧$E=\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$，由正极板指向负极板。为了方便起见我们把两极板间的电势差称为电压$V$，而容易发现两极板上电荷的总量和电压是成正比的（叠加原理，翻倍）。所以有人写出$Q=CV$，$C$称为电容。两平行极板是电容器的常见形式，由于它的$C$较大，它能够吸收、释放大量电荷而电势不做太大改变。

均匀带电球体的电场我们很熟悉了。根据高斯定理，在球外部可以直接将球看作球心处的点电荷，在求内部随着半径线性增大。均匀球壳的内部电场为0。

电偶极子

靠近的一堆电荷称为“偶极子”。偶极子的势可以直接精确地由点电荷的势叠加给出：（偶极子连线位于$z$轴）$\phi(x,y,z)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\dfrac{q}{\sqrt{[z-(d/2)^2]+x^2+y^2}}+\dfrac{-q}{\sqrt{[z+(d/2)^2]+x^2+y^2}}\right]$。这个代数式还是稍显复杂，我们希望在处于偶极子较远距离时做一个近似。当距离足够远时，$d$趋向无穷小，因此对$[z-(d/2)]^2$这一项忽略$d^2$项，于是$[z-(d/2)^2+x^2+y^2] \approx z^2-zd+x^2+y^2=r^2-zd$。因此$\dfrac{q}{\sqrt{[z-(d/2)^2]+x^2+y^2}} \approx q\left(r^2-zd\right)^{-\frac{1}{2}}=q\cdot \dfrac{1}{r}\left(1-\dfrac{zd}{r^2}\right)$，再次忽略二阶小量得到$\dfrac{q}{r}(1+\dfrac{zd}{2r^2})$。同理后一项近似为$\dfrac{-q}{r}(1-\dfrac{zd}{2r^2})$。于是得到$\phi \approx \dfrac{zqd}{4\pi\epsilon_0r^3}$。而$z$可以写成$r\cos\theta$，其中$\theta$是位置矢量于偶极子连线的夹角。这样就有$\phi=\dfrac{qd\cos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}$。其中$qd$是由偶极子本身的性质决定的，称为偶极矩，记为$p$。把$p$看作偶极子连线方向上的矢量，就可以把$pcos\theta$写作$\vec{p} \cdot \vec{e_r}$。这样就得到$\phi=\dfrac{\vec{p}\cdot\vec{e_r}}{4\pi\epsilon_0 r^2}$。这说明偶极子势随$r$的平方反比递减，因此电场随立方反比递减。而事实上容易验证$\nabla\left(\dfrac{1}{r}\right)=-\dfrac{\vec{e_r}}{r^2}$，因此也可以写作梯度形式$\phi=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\vec{p} \cdot \nabla\left(\dfrac{1}{r}\right)$。我们知道点电荷的势恰好是正比于$\dfrac{1}{r}$的，因此我们假设原点有单位点电荷时$r$处的电势为$\varphi_0$，就可以把偶极子的势最终写作$\phi=-p \cdot \nabla\varphi_0$。至此表达式已经非常简洁了。

如果在足够远的距离看一群电荷，如果这群电荷的总和不为0，那么它们可以近似为一个点电荷。如果总和为0，我们可以稍微精确一些，把每个电荷到位置的矢量投影到位置到原点的连线上，再用泰勒展开的一阶近似，我们将会得到$\phi=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\vec{p} \cdot \vec{e_r}}{r^2}$，其中$\vec{p}=\sum q_i\vec{d_i}$。我们发现它与偶极子具有完全相同的数学形式。

带电导体

带电导体上的电荷分布会随着外界电场的变化最终落到一个确定的结果。这个过程的一般解法必然是复杂的，一般只能通过计算机的数值分析来得到。而对于一类特殊的电场，可以用一些巧妙的技巧来得到。它是通过已知的电场来推出与这些电场的等势面形状完全相同的导体产生的电场的技巧。例如在由两个点电荷形成的电场中，我们取一个弯曲的等势面， 现在我们假设有一个与等势面形状完全相同的导体板放置在该等势面的位置上，电势也调整为和等势面相同，那么这个导体的存在一定不会对电场产生任何影响。我们之前讨论过，封闭（无穷）导体的内外是静电屏蔽的，因此一边的电荷变化不会影响到另一边的电场分布。于是我们移掉导体一边的电荷，另一边的电场一定不变。这样我们就求出了这样一个形状的导体在某个电荷影响下的电场分布了。以后我们就能够用那个被我们移掉的电荷来代替这个带电导体，这样的方法称为镜像法，那个被我们想象存在的电荷称为镜像电荷。还有许多类似的结论，例如由两个电荷根据阿波罗尼斯圆形成的等势球面等等。

带电导体的形状会影响电荷的分布。由于电荷企图尽可能广阔地铺开在导体表面，因此有大多数电荷都被推到了离表面尽量远的尖端。因此导体的尖端往往分布着强大的电场，此时空气中的游离电荷容易被加速从而从原子中打出电子，这些电子又打出别的原子中的电子，于是形成了“放电”。这一现象称为尖端放电。根据尖端放电制成的场致发射显微镜是人类最早的观察原子的工具。

导体表面的电场求解问题最终都可以规约到$\nabla^2 \phi=0$的问题。一个有意思的数学技巧是，一个性质足够好的复变函数$f=U+iV$总是满足$\nabla^2U=0$与$\nabla^2V=0$。所以我们任写出一个复变函数，就可以求出两组电场分布。通过寻找满足这样电场分布的导体，我们就求出了这些导体的电场分布。

静电能

静电学的系统中存在一定的能量，因为要把两电荷移到一起需要做出一定量的功。我们已经计算过这个功正比于电荷量，反比于两电荷间的位移。即$W=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 r_{12}}$。而根据叠加原理我们又知道如果存在许多电荷，合力等于各个电荷的力的总和，于是多个电荷构成的系统的总能量一定等于每对电荷间相互作用的各项能量之和：$U=\sum \dfrac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0 r_{ij}}$。如果电荷的分布连续，求和要用积分来代替。这适用于所有的静电学系统，我们可以直接利用这个式子计算出离子晶体（例如NaCl）的静电能。

在求一个系统的静电能的时候，我们可以想象电荷是一点点被移动上去的。例如平行板电容器的能量可以被想象成是逐步把小电荷$dQ$从一板移到另一板上，每次做的功$dU=VdQ$，而$V=\dfrac{Q}{C}$，于是根据$CdU=QdQ$求得$U=\dfrac{Q}{2C^2}$或$U=\dfrac{CV^2}{2}$。

一个有趣的问题是：静电能究竟位于何处？这个问题是重要的，虽然我们可以把能量理解为一个纯粹的数学概念，因为它是用来表示力在空间上的积分的概念。但如果我们能够指出能量位于何处，比如在热力学中我们可以说物体具有内能，这样我们就可以方便地用局域性的能量守恒定律来理解物理现象，也就是说在任何给定体积内能量只能依据流进或流出该体积的量来变化。另一个物理上的原因在于，我们在相对论中已经看到能量是与质量等价的，所有能量都是引力之源，不能指明能量的位置就是不能指明质量的位置。而事实是，如果我们被限制在静电学的范围里，确实无法说出能量的位置在哪里。电动力学的完整定律（麦克斯韦方程组）会为我们提供多得多的知识。

现在我们仅仅给出静电学这种特殊情况下的结果。我们已经认识到电场的存在，所以说能量在电场所在的空间似乎是很合理的。下面我们来证明这一点。我们用积分形式写出空间的静电能：$U=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{\rho_1\rho_2}{4\pi\epsilon_0 r_{12}}dV_1dV_2$，化为累次积分其中$\displaystyle\int \dfrac{\rho_2dV_2}{4\pi\epsilon_0 r_{12}}$恰好是由$q_1=\rho_1dV_1$位置处空间的电势$\phi_1$，所以可以化简为$U=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \rho_1\phi_1 dV_1$。于是我们可以忽略下标直接写出$U=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \rho\phi dV$。而根据静电学定律，$\rho=-\epsilon_0\nabla^2 \phi$，代入得到$U=-\dfrac{\epsilon_0}{2}\displaystyle\int\phi\nabla^2\phi dV$。根据微分的定义可以得到$\phi\nabla^2\phi=\nabla \cdot (\phi\nabla \phi)-(\nabla \phi) \cdot (\nabla \phi)$。所以$U=\dfrac{\epsilon_0}{2}\left[\displaystyle\int (\nabla \phi)\cdot(\nabla \phi)dV-\int \nabla \cdot (\phi\nabla \phi)dV\right]$。第二个积分是散度的积分，用高斯定律化简为$\displaystyle\int\limits_{曲面}\phi\nabla\phi \cdot \vec{n}dS$。我们把曲面取在无限远处（我们当然假设电荷都被放置在某个有限距离内），那么它相当于一个点电荷，此时$\phi$随$R$反比变化，它的微分自然随$R$平方反比变化，而曲面面积随$R$平方正比变化，因此总体而言第二个积分趋向0。而第一个积分里$\nabla \phi=E$。综上$U=\dfrac{\epsilon_0}{2}\displaystyle\int E^2dV$。可见系统的总静电能就等于整个空间中电场强度（平方）的积分！总能量分布在整个电场中。

我们得到的关系式说明，只要存在电场就存在能量。可这就说明单个点电荷也具有能量！而电场强度在接近点电荷的地方是无穷大的，积分将会得到一个无穷大的能量，这显然不符合事实。所以我们不得不断言，把能量定域在场中的那种概念同存在点电荷这一假设是彼此不相容的。我们应该说明，像电子这样的基本电荷并不是点，而是电荷的微小分布。或者说，在十分微小的距离内，电学理论已经有错误，或局域能量守恒的概念是不对的。这一困难至今还没有解决。