一阶微分方程

变量分离方程

分离变量法

以下面的物理场景为例：水滴在空中以初速度$v_0=0$落下，受重力作用，并受一个与速度成正比的阻力$f=kv$。求足够长的时间后水滴的下落速度。由牛顿第二定律，$mg-kv=ma$，所以$\dfrac{\text{ d} v}{\text{ d} t}=g-\dfrac{k}{m}\cdot v$，移项得$\dfrac{1}{g-\dfrac{kv}{m}}\text{ d} v=\text{ d} t$。两边同时求不定积分$\displaystyle\int \dfrac{1}{g-\dfrac{kv}{m}}\text{ d} v=\int dt$。计算得$\ln(g-\dfrac{kv}{m})=-\dfrac{k}{m}(t+C)$。结合$v_0=0$可得$v=\dfrac{mg}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}\cdot t})$。由此可见，$t\to\infty$时$v\to \dfrac{mg}{k}$，这符合物理直觉：随着水滴速度的增大，阻力也不断增大，直到阻力与重力平衡。

以上微分方程的求解过程中，需要说明清楚的是为什么可以对$\text{ d} t$ 移项（因为$\text{ d} t$ 本身不是实数），为什么可以两边同时对不同的变量求不定积分。也即，为什么可以作这样的形式变换：

对于常微分方程$f'(x)=af(x)+b$，也即$\dfrac{\text{ d} f(x)}{\text{ d} x}=af(x)+b$，可以做变换$\dfrac{\text{ d} f(x)}{af(x)+b}=\text{ d} x$，以及$\displaystyle\int \dfrac{\text{ d} f(x)}{af(x)+b}=\displaystyle \int \text{ d} x$。

事实上，这一过程是如下过程的简写：$\dfrac{f'(x)}{af(x)+b}=1$，$\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{af(x)+b}\text{ d} x=\int \text{ d} x=x+C$。由不定积分的换元法，令$u(x)=f(x)$，此即$\displaystyle\int \dfrac{1}{au+b}\text{ d} u=x+C$。

可化为变量分离的方程

通过做变量替换，可以将一类微分方程转化为变量分离方程。

比如，$\dfrac{\text{ d} y}{\text{ d} x}=g\left(\dfrac{y}{x}\right)$。设$y=f(x)$，要求解$f'(x)=g(f(x)/x)$，可以令$u(x)=f(x)/x$，得到$(xu(x))'=g(u(x))$，也即$u(x)+xu'(x)=g(u(x))$，也即$u'(x)=\dfrac{g(u(x))-u(x)}{x}$，也即$\dfrac{u'(x)}{g(u(x))-u(x)}=\dfrac{1}{x}$。这样就转化为了变量分离方程。

又比如，$\dfrac{\text{ d} y}{\text{ d} x}=g(ax+by+c)$。设$y=f(x)$，可以令$u(x)=ax+bf(x)+c$，$u'(x)=a+bf'(x)$。对于$f'(x)=g(u(x))$，得到$\dfrac{u'(x)-a}{b}=g(u(x))$，也即$\dfrac{u'(x)-a}{g(u(x))}=b$。这样就转化为了变量分离方程。

一阶线性微分方程

形如$\dfrac{\text{ d} y}{\text{ d} x}=P(x)y+Q(x)$的微分方程称为一阶线性微分方程。

若$Q(x)=0$，那么称其为一阶齐次(homogeneous)线性微分方程。对于$\dfrac{\text{ d} y}{\text{ d} x}=P(x)y$，可以直接用分离变量法求解：$\dfrac{\text{ d} y}{y}=P(x)\text{ d} x$，得到$\ln y = \displaystyle\int P(x)\text{ d} x$，也即$y=C\cdot \exp(\displaystyle\int P(x)\text{ d} x)$。

假设$Q(x)\neq 0$。令$y=f(x)$，要求解$f'(x)=P(x)f(x)+Q(x)$，等价于$f'(x)-P(x)f(x)=Q(x)$。注意到，如果设$R'(x)=-P(x)$，那么有$(e^{R(x)+C}f(x))'=-e^{R(x)+C}P(x)f(x)+e^{R(x)+C}f'(x)$。所以$f'(x)-P(x)f(x)=Q(x)$等价于$\dfrac{(e^{R(x)+C}f(x))'}{e^{R(x)+C}}=Q(x)$，所以$e^{R(x)+C}f(x) = \displaystyle\int Q(x)e^{R(x)+C}\text{ d} x$。也即，$f(x)=e^{\int P(x)\text{ d} x}\displaystyle\int Q(x)e^{-\int P(x)\text{ d} x}\text{ d} x$。