01 概率振幅

电子双缝干涉实验

物理学认为，世界是由基本粒子构成的。这些基本粒子包括电子、质子、中子等等。首先，让我们研究电子(electrons)的行为。

考虑下面这个称为“电子的双缝干涉(double-slit interference)”的实验。我们有一台电子发射器，它会朝某一范围的方向发射电子。发射器前方放置一个双缝，每个缝的宽度略宽于电子，保证电子能通过。双缝后放置带有可移动探测器的屏，探测器可以对到达的电子计数。如果我们发射大量电子，那么对于每个位置，我们就可以通过计算探测器探测到的电子数除以总电子数，计算出电子到达每一位置的概率。

作为在宏观世界生活的人，我们会预期实验结果如何呢？让我们先基于宏观实验做一些猜测：

假如我们发射的不是电子而是完整不可分割的小球（一个宏观物体），发射的角度随机分布在一定范围内。那么作为实验结果，我们将得到一条小球数关于横向偏移距离的曲线$P(x)$。我们能够想象，曲线一定是对称的，因为装置是对称的。并且，一个可能的结果是，对称轴处是最大值，然后向两侧递减。关键在于，这条曲线可以用下面这种方法绘出：挡住第二个缝进行实验，得到曲线$P_1(x)$，此时只有那些通过缝1的小球到达了探测器；挡住第一个缝进行实验，得到曲线$P_2(x)$，此时只有那些通过缝2的小球到达了探测器。现在把曲线$P_1$和$P_2$逐点叠加，然后做概率归一化，得到曲线$P_{12}(x)=P_1(x)+P_2(x)$。宏观的物理规律将会告诉我们，曲线$P$和曲线$P_{12}$应当是相同的，原因是概率论的全概率公式：“对于任意一个屏上的位置$x$，$x$处有小球到达的概率 = $x$处有小球通过缝1到达的概率+$x$处有小球通过缝2到达的概率”。

假如我们发射的不是电子，而是把装置放于水中，发射器是水波的振动波源，探测器探测波的振动强度。我们假设缝的宽度远小于水振动的波长，从而可以忽略衍射的效应（缝隙处的所有位置可以有相同的相位）。这样每个缝就可以看作一个新的波源，这两个波源发出的波会发成干涉，探测器处如果恰好是振动加强点则探测到波的强度高，如果是振动相消点则波的强度低。那么作为实验结果，最终屏上的曲线显示出强弱强弱不断起伏的曲线（干涉条纹）。现在，我们像小球的实验那样，试着堵住一个缝重复这个水波的实验。如果堵住缝2，那么屏上探测到的强度就是单个波源1产生的能量强度，这个强度反比于到波源的距离的平方，在靠近缝1处取最大值，向两侧递减；堵住缝1形成的曲线是对称的。显然，此时这两条曲线相加并不会得到强弱起伏的干涉曲线。

以上两个实验体现出“粒子”和“波”在发生“叠加”时的两种完全不同的数学性质。粒子撞击屏的强度可以在各堵住一个缝时单独测量，然后逐点相加。但是波的强度不能由堵住一个缝时单独测量的结果逐点相加得到，因为测量单个波源的振动强度会抹去“相位”的信息，而当相位相反的波叠加时，波的强度会抵消而不是累加。

那么，电子的双缝干涉实验结果究竟如何呢？结果表明，电子到达概率关于位置的曲线是干涉曲线，就像水波的实验中得到的那样。同时，依次堵住一个缝得到的概率曲线的形状也和水波的实验中单个波源的曲线相同，这两条曲线逐点相加并不等于干涉曲线。

必须指出，这是一个理想实验，因为这样的装置小到几乎制造不出来，但是许多已经得到证实的其它实验能够确保这个理想实验的实验结果一定如上面描述的那样。

注意，即便我们保证每个电子的发射之间相隔足够长的时间，最终曲线的结果依然是干涉条纹。这说明，干涉条纹的出现并不是“大量电子同时发射”产生的结果，而是“单个电子”的运动模式。

电子双缝干涉的实验结果是完全让人困惑的，它说明当我们理解电子的存在时不能类比任何宏观物体。一方面，探测器总是探测到完整的一个电子，这体现出电子的“粒子性(particle nature)”；另一方面，“每个电子要么通过缝1要么通过缝2”并不成立，否则一定有$P_{12}(x)=P_1(x)+P_2(x)$，同时其概率曲线和水波实验的曲线吻合，人们把这一特性称为电子的“波动性(wave nature)”。于是，电子的这种奇特行为被称为“波粒二象性(wave-particle duality)”。

既然“每个电子要么通过缝1要么通过缝2”不成立，但是每个电子肯定都“穿过了缝”，不然不可能来到屏上。所以这意味着，电子某种程度上是“同时通过两个缝”的。这里出现了语言上的问题：当我们说“电子”时，我们总把它想象为一种粒子，所谓“粒子”就是在空间的极小一部分存在的东西。但根据电子双缝干涉实验，电子一定不是这样的存在！假设电子始终只占据一个比缝更小的空间，那么每个电子一定“要么通过缝1要么通过缝2”，这就与实验结果矛盾了。因此，电子双缝干涉的实验首先打破了“粒子总是只在某一小部分连续空间存在”这一观念。我们之后会看到，量子力学建立的这套理论将电子的存在（一切物质的存在）描述为弥散在整个宇宙所有空间上的概率空间：电子存在于所有的空间，只不过在每个位置的存在的概率有所不同。而当“宏观物体”与电子发生“相互作用”时，电子会从所有空间位置中依照其存在的概率分布随机选择一个，这称为坍缩(collapse)，这就是为什么屏上的探测器总是探测到一颗完整的电子。我们还没有详细描述这套理论，但让我们首先建立起这样的观念。

不确定性原理

“每个电子要么通过缝1要么通过缝2”激起了人们的好奇：如果我们在两个缝上放置监测器，在发射源释放每个电子时监测电子究竟是通过了哪个缝，我们就可以知道每个电子是如何通过双缝的了，也就能解开电子运动的谜团。

然而，在微观世界里，我们必须格外小心地对待任何“监测”或“测量”的行为。在宏观世界里，我们通常会倾向于把“测量”看作对“物体存在方式的信息”的获知，而“测量手段”本身对“物体存在方式”的影响总是可以忽略不计的。但是在微观世界，测量手段对物体的影响是不可忽略的。任何系统之外的物体和被测量的物体发生作用时，我们都要考虑这一动作对系统产生的影响。

正是因为监测行为本身总是会干扰原本的实验过程，人们想要通过监测电子通过哪个缝变得非常困难。注意，屏上的用于测量电子最终到达位置的探测器不会对实验产生干扰，是因为电子抵达屏时实验过程已经结束。对于屏上的探测器我们只需要一个捕获电子的装置（比如盖格米勒计数器），它让电子的概率存在坍缩了。但是“监测电子通过哪个缝”的装置需要确保不干扰电子的运动，它不能让电子坍缩，必须采用其它手段。一个绕不开的手段就是向电子发射（电磁波光子），再由电子散射此电磁波，我们再根据被散射的电磁波推出电子的位置。监测器发射的电磁波越强，关于电子通过了哪个缝的判断就越准确，同时对实验的干扰也就越大。实际情况是：任何时候，只要监测装置强到刚好测出电子通过了哪一条缝，干涉结果就会被干扰， 以至于$P_{12}(x)=P_1(x)+P_2(x)$恰好被满足了；而当电磁波强度慢慢降低，以至于干涉曲线再度出现时，电磁波的强度又恰好弱到无法判断电子通过了哪一个缝。最后人们不得不承认：“不可能设计出一套监测装置，既能够确定电子经过哪一个缝，又不使电子受到足以破坏其干涉图像的扰动”。

我们进一步分析上述过程。设用于监测的电磁波的波长为$\lambda$。波长越短，对电子位置的监测越精确。设双缝之间的间距为$\Delta x$，电磁波的波长必须满足$\lambda < \Delta x$才足以分辨电子经过的是哪一个缝隙。但是，波长越短携带的能量也就越大，对电子产生的干扰也就越强。电磁波作用于电子，会对电子的动量产生$\Delta p$的干扰。实验表明，这个动量干扰的大小可以近似认为反比于电磁波的波长。电磁波电子到达屏上的那种强弱相消的干涉模式是电子本身的运动模式，这种模式要求其动量分布是相当精确的。任何干扰都会削弱这种精确的模式，使得相位加强处与相位减弱处相互抹平，从而趋向于$P_{12}(x)=P_1(x)+P_2(x)$这种模式。在监测电子的实验中，我们发现无论如何都无法达到“既看清电子通过哪个缝，又出现干涉条纹”，$\Delta x$越小$\Delta p$就越大。

海森堡把上述观察推广到了所有微观粒子上。他提出：“在同一时刻对任意客体进行动量$p$和位置$x$的测量时，测量的不确定性$\Delta p$和$\Delta x$始终满足$\Delta p\Delta x\geq\dfrac{h}{4\pi}$。其中，$h$称为普朗克常量(planck constant)，其值近似等于$6.63 × 10^{-34}$。”也就是说，不可能设计出一个实验装置，使得我们能够同时把$\Delta x$和$\Delta p$确定到很小的范围内。任何时候，一旦我们确信某一粒子的位置在某一点附近不超过$\Delta x$的范围内，那么位置测量产生的干扰会使得我们永远不可能设计出一套装置来使其测得的动量比$\dfrac{h}{4\pi \Delta x}$更精确。这条定律称为“不确定性原理”或“测不准原理”(Uncertainty Principle)。

例如，我们为了“测量”电子的位置，我们设置一个电子无法穿过的屏障，只留了一个$\Delta x$宽度的缝。我们首先用某种方式确认电子在屏的一侧，释放电子后再用某种方式确认电子在屏的另一侧。此时我们可以确信，在上述过程的某一瞬间，电子一定通过了屏上的那个缝，因此那一瞬间我们就把电子位置的“不确定性”缩小到了$\Delta x$以内。现在，不确定性原理告诉我们，通过这种方式获知电子位置的信息是有代价的，当$\Delta x$足够小时，电子很可能在穿过缝隙的时候与屏产生相互作用，从而改变了原本的“运动轨迹”，这使得其动量有很大的不确定性。

不确定性原理是大量实验总结出来的结论。对于这样的结论，我们自然要追问它的背后有没有更本质的东西。然而到目前为止，并没有任何比不确定性原理更本质的原理，不确定性原理本身就是所有的量子力学理论的基本假设。一旦推翻了不确定性原理，我们就将推翻整个量子力学。目前还没有一个人找到一条绕过不确定性原理来研究量子力学的途径。所以，我们不妨假设它就是自然界的一个基本特征：自然界中我们有能力获取的关于位置和动量的信息并不能精确到数轴上的一个点，而只能精确到某一个很小的区间。从这一点看来，人类对自然界的认识从根本上是“量子化(quantized)”的，而不是连续的。

概率振幅(Probability Amplitudes)

我们已经看到，“粒子”和“波”在发生“叠加”时的数学性质完全不同。波的强度不能由堵住一个缝时单独测量的结果逐点相加得到，因为测量单个波源的振动强度会抹去“相位”的信息，而当相位相反的波叠加时，波的强度会抵消而不是累加。所以从数学上，当我们需要叠加两个波的时候，我们必须把相位的信息考虑在内。

我们用复指数的实部描述相位：对于屏上的一点$x$，设堵住缝2时该位置处波的高度随时间变化的函数为$h_1(x)e^{i\omega t}$的实部，堵住缝1时该位置处波的高度随时间变化的函数为$h_2(x)e^{i\omega t}$的实部。

注意，我们必须假设$h_1(x),h_2(x)$是复数，它们称为振幅函数。$h$如果只是实数，那么$t=0$时$he^{i\omega t}$的实部总是在波动的最高点，也就没有相位的信息了。那么就没有相位信息了。

当两个缝同时打开时，振幅可以直接相加，所以此时位置$x$处波的高度随时间变化的函数为$(h_1(x)+h_2(x))e^{i\omega t}$的实部。波的强度正比于波的高度瞬时值的平方平均值。对于任意复数$h$，设$h=a+bi$，有$he^{i\omega t}=(a+bi)(\cos\omega t+i\sin\omega t)$，它的实部为$a\cos\omega t-b\sin\omega t$，其平方平均值$\dfrac{1}{2\pi/\omega}\displaystyle\int_0^{2\pi/\omega}(a\cos\omega t-b\sin \omega t)^2\text{ d}t=$ $\dfrac{a^2+b^2}{2}= \dfrac{|h|^2}{2}$。由此可见，对于屏上的任意一个位置$x$，如果来自缝1的波动强度为$I_1(x)=|h_1(x)|^2/2$，来自缝2的波动强度为$I_2(x)=|h_2(x)|^2/2$，那么振动叠加后的波动强度应当为$I_{12}(x)=|h_1(x)+h_2(x)|^2/2$。由于我们要做概率归一化，所以我们不关心常数系数，我们不妨认为探测器测量的是“振幅的两倍”，那么我们可以为波动的叠加总结出下面这个简单的规律：双缝同时打开时的波动强度等于每个缝的振幅函数之和的平方，而不等于只打开单缝时的波动强度的叠加，也即振幅函数的平方之和。

既然电子双缝干涉的结果和水波的实验完全相同，那么不妨假设有两个关于位置$x$的复函数$\phi_1(x),\phi_2(x)$，使得堵住一条缝的概率曲线$P_1(x),P_2(x)$恰好满足$P_1(x)=|\phi_1(x)|^2,P_2(x)=|\phi(x)|^2$。这样，我们就可以通过先叠加这两个复数在求其模长平方的方式求出电子双缝干涉结果的概率，$P_{12}(x)=|\phi_1(x)+\phi_2(x)|^2$。

这一模型在大量实验中与事实吻合，以至于这种对通过设定复函数描述粒子行为的方法成为量子学中的基本方法。微观粒子的行为在数学形式上和波的行为同构，所以把粒子“想象为波”就变得非常有助于理解。那么，函数$\phi(x)$有什么具体含义吗？在水波实验中，函数$h(x)$描述振动的幅度以及相位，$|h(x)|^2$能够给出每个位置的波动强度。在电子双缝干涉实验中，$|\phi(x)|^2$可以给出电子出现在每个位置的概率，而在我们的类比中波动强度恰好对应于电子的概率，所以$\phi(x)$可以看作某种“振幅”。当然，电子并没有真的在振动，这只是我们为了类比波动而为函数$\phi(x)$所取的名字。我们把它称为“概率振幅(probability amplitude)”，简称“概率幅”或“振幅”。

基本原理

我们把一组特定的初始条件和最终条件称为一个“事件(event)”。例如，在电子双缝干涉的实验中，“一个电子从发射器出发，到达屏上的位置$x$”是一个事件；“一个电子从发射器出发，经过小孔1到达屏上的位置$x$”也是一个事件。量子力学的第一原理：事件的概率等于概率振幅的模长平方。

在电子双缝干涉的实验中，把发射器的位置矢量用$s$表示，探测器的位置矢量用$x$表示。我们用狄拉克的符号把概率振幅函数简记为$\lang x\mid s\rang$。实验结果显示，两个小孔同时打开时的概率曲线并不等于每个小孔单独打开时的概率曲线的和，而两个小孔同时打开时的概率振幅恰好等于每个小孔单独打开时的概率振幅的和。用狄拉克的符号表示为：$\lang x\mid s\rang_{\text{两个小孔都打开}}=$ $\lang x\mid s\rang_\text{只打开1}+\lang x\mid s\rang_\text{只打开2}$。量子力学的第二原理：当多个事件可能同时发生并且无法测定究竟是哪个事件发生时，为了计算每个事件发生的概率，不应该单独计算每个事件发生的概率然后叠加，而是应该单独计算每个事件的概率振幅，叠加概率振幅以后计算概率（概率振幅模长的平方）。

尽管在电子双缝干涉实验中，我们永远无法知道一个电子是穿过了小孔1还是小孔2还是同时穿过小孔1和2，我们还是可以从形式上定义“电子从$s$到达小孔1”和“电子从小孔1到达$x$”这样的事件，这样的事件也可以用狄拉克符号记为$\lang 1\mid s\rang$和$\lang x\mid 1\rang$。为这样的事件，我们用链式乘积的方式定义其概率幅，把这一定义作为量子力学的第三原理：一粒子走过某特定路径的概率振幅可以写成走过前后两部分路径的概率振幅的乘积。例如，有$\lang x\mid s\rang_\text{只打开1}=\lang x\mid 1\rang \lang 1\mid s\rang$。那么$\lang x\mid s\rang_\text{两个小孔都打开}=\lang x\mid 1\rang \lang 1\mid s\rang+\lang x\mid 2\rang \lang 2\mid s\rang$。第三原理让量子力学的分析只依赖于某一初始状态的概率振幅，而不必了解在此之前的任意信息。

当涉及多个粒子的时候，还有一条额外的原理：如果两个粒子不相互作用，那么一个粒子做一件事并且另一个粒子做另一件事的振幅是两个粒子分别做这两件事的振幅的乘积，这类似于概率论中事件的独立性。

薛定谔方程(Schrödinger Equation)

最一般的情况下，事件的概率振幅$\psi$是一个关于时间$t$和位置$\vec r$的函数。薛定谔方程描述了非相对论情况下概率振幅与系统能量分布$V$的关系。写作：

$$i\hbar \dfrac{\part \psi}{\part t}=-\dfrac{\hbar}{2m}\nabla^2 \psi+V\psi$$

已知系统能量分布时，通过求解薛定谔方程就可以得到某初始时间和位置的粒子在未来的各位置处的概率振幅。

在电子双缝干涉实验中，“从源到孔1”以及“从孔1到$x$”的过程中，电子都不受任何力的作用，匀速从真空中一点$\vec r_1$运动到真空中另一点$\vec r_2$。通过解薛定谔方程可以求出$\lang \vec r_2 \mid \vec r_1\rang = C \cdot \frac{\exp\left(\frac{i}{\hbar}\vec p\cdot (\vec r_2-\vec r_1)\right)}{|\vec r_2-\vec r_1|}$，其中$\vec p$是粒子的动量。在电子双缝干涉的实验中，动量和位移始终是共线的。所以当我们假定发射器发射出的电子的能量一定时，可以用$p^2=2mE$计算出$|p|=\sqrt{2mE}$，那么我们可以解出电子双缝干涉过程中的所有事件的概率振幅了（这里我们假设了粒子进出小孔的概率振幅为$1$，也即忽略小孔对电子行为的影响）：设$s$到双缝的距离为$l$，双缝间距为$2d$，双缝到屏的距离为$L$，那么$\lang x\mid s\rang_\text{两个小孔都打开}=\lang x\mid 1\rang \lang 1\mid s\rang+\lang x\mid 2\rang \lang 2\mid s\rang$ $=\frac{\exp(\frac{i}{\hbar}\sqrt{2mE}(\sqrt{d^2+l^2}+\sqrt{(x-d)^2+L^2}))}{\sqrt{(d^2+l^2)[(x-d)^2+L^2]}}+\frac{\exp(\frac{i}{\hbar}\sqrt{2mE}(\sqrt{d^2+l^2}+\sqrt{(x+d)^2+L^2}))}{\sqrt{(d^2+l^2)[(x+d)^2+L^2]}}$。计算此概率振幅的平方，就会得到和水波实验中一样的干涉曲线。

监测实验的分析

有了这些原理，我们可以分析用光源$L$观测电子时双缝干涉实验结果的概率幅。电子会散射光子。假设我们在孔1和孔2后同时对称地放置光子探测器$D_1$和$D_2$。根据相乘的法则，电子从发射源$s$出发到达孔1的振幅为$\lang 1\mid s\rang$，此时散射光子使得光子到达$D_1$，这一事件的振幅设为$a$，而后从孔1到达屏上的振幅为$\lang x\mid 1\rang$。因此总的振幅（从右往左）为$\lang x\mid 1\rang a\lang 1\mid s\rang$。把$\lang x\mid 1 \rang\lang 1 \mid s \rang$记为$\phi_1$，得到$a\phi_1$。同时，通过孔2的电子也可能把光子散射进$D_1$里（尽管可能性很小），记孔2的电子散射进$D_1$的概率幅为$b$，那么“电子从$s$到达孔2，散射的光子被$D_1$探测，最后到达$x$”的概率幅为$\lang x \mid 2\rang b \lang 2 \mid s\rang$，记为$b\phi_2$。所以，$\lang 电子到x且光子到D_1\mid s\rang=a\phi_1+b\phi_2$。同样地，也可以计算$\lang 电子到x且光子到D_2\mid s\rang=a\phi_2+b\phi_1$。由于我们构建的系统是对称的，所以通过孔1的电子散射光子到$D_2$的概率幅应当等于通过孔2的电子散射光子到$D_1$的概率幅，孔2的电子散射光子到$D_2$的概率幅应当等于通过孔1的电子散射光子到$D_1$的概率幅。因此$\lang 电子到x且光子到D_2\mid s\rang=a\phi_2+b\phi_1$。

现在， 一个在监测实验中起作用的装置应该满足：经过孔1的电子只会散射光子到$D_1$，不会散射光子到$D_2$。这意味着概率幅$b=0$。每个电子发射后，总是要么$D_1$接收到光子要么$D_2$接收到光子，这两个事件是可区分的，所以最后得到的概率曲线为$|a\phi_1+b\phi_2|^2+|a\phi_2+b\phi_1|^2=2|a|^2|(\phi_1|^2+|\phi_2|^2)$，可见这恰好是堵住每个小孔时的概率曲线的叠加，电子没有发生干涉。

如果我们减弱光子的能量（增加波长），直到光线模糊得无法分辨电子是通过了孔1还是孔2，此时$a,b$变得非常接近。不妨设$a=b$，此时概率曲线为$|a\phi_1+b\phi_2|^2+|a\phi_2+b\phi_1|^2=2|a\phi_1+a\phi_2|^2=2|a|^2|\phi_1+\phi_2|^2$，可见此时概率幅叠加，电子发生干涉。

很重要的一点是，由于“是$D_1$接收到光子还是$D_2$接收到光子”在任何时候都是可区分的事件，无论该光子是在小孔1被散射还是在小孔2被散射。对于可以区分的事件，总是不满足概率幅的叠加而是满足概率的叠加。两个事件是否可以区分不在于观察者是否有“想要区分”的意图，而在于区分这两个事件是否会违反不确定性原理。