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场论的基本内容与应用

DennyQi · June 11, 2023 · 37 min read

场论的基本内容与其在电磁学中的应用

引言

在数分课上讲到Green、Gauss、Stokes公式这一节时，对这些公式没能很快的理解，很大程度上是因为对梯度、散度、旋度的概念没有直观感受，同时对算子∇\nabla的含义经常产生混淆。恰好课上老师提到了费恩曼对这些公式有过一个直观的理解，于是去读了费恩曼的书，并对场论产生了兴趣，所以选了这个题目来作为小论文的主题。 本文试图对场论中涉及到的主要公式做一个梳理，并给出了一些自己的直观理解。

场论的基本公式

梯度

我们导出过标量函数ff的全微分和偏导数的关系：

df(x,y,z)=∂f∂xdx+∂f∂ydy+∂f∂zdzdf(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy+\dfrac{\partial f}{\partial z}dz

它表示函数增量的线性部分可以表示为各个坐标方向的偏导数与自变量变化量的乘积。如果把这个乘积的和看作向量的点乘形式，那么可以把全微分看作向量(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)与位置矢量的微分(dx,dy,dz)\left(dx,dy,dz\right)的点乘。前面这个向量可以看作是一个一般的“向量”(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right)作用在了函数ff上。我们就把这个“向量”用记号∇\nabla表示，它是一个算子，作用在标量函数上就得到了一个由偏导数构成的向量。于是我们可以写出

df=∇f⋅dr⃗df=\nabla f \cdot d\vec r

其中∇f\nabla f就称为ff的梯度。

梯度的几何含义是：梯度的方向是函数“增长最快”的方向。这里的增长最快是指方向导数最大。事实上，我们可以给出一个方向导数和梯度的关系。ff在(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)处沿方向n⃗=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)的方向导数∂f∂n⃗\dfrac{\partial f}{\partial \vec n}（其中nn是单位向量）根据定义为

∂f∂n⃗=lim⁡t→0+f(r⃗0+tn⃗)−f(r⃗0)t\dfrac{\partial f}{\partial \vec n}=\lim\limits_{t \to 0^+}\dfrac{f(\vec r_0+t\vec n)-f(\vec r_0)}{t}

当t→0+t \to 0^+时，函数的增量部分可以用全微分代替，因此f(r⃗0+tn⃗)−f(r⃗0)→∂f∂x⋅(tcos⁡α)+∂f∂y⋅(tcos⁡β)+∂f∂z⋅(tcos⁡γ)f(\vec r_0+t\vec n)-f(\vec r_0) \to \dfrac{\partial f}{\partial x} \cdot (t\cos \alpha)+\dfrac{\partial f}{\partial y} \cdot (t\cos \beta)+\dfrac{\partial f}{\partial z} \cdot (t\cos \gamma)。因此根据我们的梯度记号直接得到

∂f∂n⃗=∇f⋅n⃗\dfrac{\partial f}{\partial \vec n} = \nabla f \cdot \vec n

即方向导数等于函数的梯度向量与指示方向的单位法向量的点乘。而根据点乘的几何意义，∇f⋅n⃗≤∥∇f∥⋅∥n⃗∥=∥∇f∥\nabla f \cdot \vec n \leq \|\nabla f\| \cdot \|\vec n\|=\|\nabla f\|，在∇f\nabla f与n⃗\vec n通向时取到等号。即方向导数当且仅当方向向量与梯度向量同向时取到最大值。

标量函数的梯度满足公式

ψ(r⃗2)−ψ(r⃗1)=∫Γ∇ψ⋅ds⃗\psi(\vec r_2)-\psi(\vec r_1)=\int\limits_{\Gamma} \nabla \psi \cdot d\vec s

称为“梯度定理”。其中Γ\Gamma是任意一条以r⃗1\vec r_1为起点，r⃗2\vec r_2为终点的光滑曲线。把右侧写成Riemann和的形式∑∇ψ⋅τ⃗ ds\sum\limits \nabla \psi \cdot \vec \tau \ ds，而根据方向导数的定义∇ψ⋅τ⃗\nabla \psi \cdot \vec \tau就是ψ\psi沿τ\tau方向的方向导数。因此∇ψ⋅τ⃗ ds\nabla \psi \cdot \vec\tau \ ds就表示函数ψ\psi从弧微元dsds的起点到终点过程中发生的增量，把它累加自然就是ψ\psi在整条曲线上起点到终点的增量。

散度

对于空间中的区域Ω\Omega，成立

∬∂ΩF⃗⋅n⃗dS=∭Ω∇⋅F⃗dV\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS=\iiint\limits_{\Omega}\nabla \cdot \vec FdV

也写作∬∂ΩPdy∧dz+Qdz∧dz+Rdx∧dy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}Pdy \land dz+Qdz \land dz + R dx \land dy=\iiint\limits_{\Omega}\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz。也就是说，对于空间中的向量场，如果我们在给定区域的边界上对向量做一圈积分，它一定等于(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)在整个区域上做积分。我们这样来理解：假如把区域划分成小长方体，每个矩形的左下角设为(x,y,z)(x,y,z)，那么在边界上的积分为：xx方向近似为−P(x,y,z)ΔyΔz+P(x+Δx,y,z)ΔyΔz≈∂P∂xΔxΔyΔz-P(x,y,z)\Delta y\Delta z +P(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z \approx \dfrac{\partial P}{\partial x}\Delta x \Delta y\Delta z。其它方向同理。因此边界上的整个积分近似为(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)ΔxΔyΔz\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)\Delta x\Delta y\Delta z。把小立方体拼成给定区域时，重叠部分依然相互抵消了，只留下最外围的积分。

(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)这一项可以写成∇⋅F\nabla \cdot F，这里的点乘是形式上的点乘。它被称为“散度”，因此Gauss公式也被称为“散度定理”。我们想知道散度的几何意义是什么：把Gauss公式的右侧用积分中值定理写成∣Ω∣(∇⋅F⃗(P0))|\Omega|(\nabla \cdot \vec F(P_0))，那么Gauss定理可以写作∬∂ΩF⃗⋅n⃗dS∣Ω∣=∇⋅F⃗(P0)\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS}{|\Omega|}=\nabla \cdot \vec F(P_0)。如果我们保证P0P_0始终包在Ω\Omega内部，并且不断缩小左侧的Ω\Omega，那么这个过程的极限值就是右侧的散度，即lim⁡Ω→P0∬∂ΩF⃗⋅n⃗dS∣Ω∣=∇⋅F⃗(P0)\lim\limits_{\Omega \to P_0}\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS}{|\Omega|}=\nabla \cdot \vec F(P_0)，而左侧反应的就是穿出包含PP的一小圈曲面的通量，它反应的就是P0P_0点附近向量场的“发散情况”。如果PP是“源点”，散度就为“正”，如果是“汇点”，散度就为“负”，如果既不是源点也不是汇点，散度就为0。

旋度

Stokes公式指出

∫∂ΣF⃗⋅τ⃗ds=∬Σ(∇×F⃗)⋅dS⃗\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma}\vec F \cdot \vec{\tau}ds=\iint\limits_{\Sigma}(\nabla \times \vec F)\cdot d\vec S

分量形式为∫∂ΣPdx+Qdy+Rdz=∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dy∧dz+(∂P∂z−∂R∂x)dy∧dz+(∂Q∂x−∂P∂y)dy∧dz\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma}Pdx+Qdy+Rdz=\iint\limits_{\Sigma}\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\land dz+\left(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\right)dy\land dz+\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dy\land dz。向量场在曲面边界上的积分等于∇×F⃗\nabla \times \vec F在曲面上的通量。

Stokes公式其实是三维情形下的Green公式。Green公式指出，对于平面上的一个向量场，如果我们在给定区域的边界上对向量做一圈积分，它一定等于(∂Q∂x−∂P∂y)\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)在整个区域上做积分。即∫∂DPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\displaystyle\int\limits_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint\limits_{D}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy。对于Green公式我们这样来理解：假如我们能把平面划分成微小的矩形，每个矩形的左下角设为(x,y)(x,y)，那么向量在这个矩形的边界上做积分是容易计算的：xx方向的积分是上下两条边上的积分，可以近似为P(x,y)Δx−P(x,y+Δy)Δx≈−∂P∂yΔxΔyP(x,y)\Delta x - P(x,y+\Delta y)\Delta x \approx -\dfrac{\partial P}{\partial y}\Delta x \Delta y。同样的，对于yy方向也有Q(x+Δx,y)Δy−Q(x,y)Δy≈∂Q∂xΔxΔyQ(x+\Delta x,y)\Delta y - Q(x,y)\Delta y \approx \dfrac{\partial Q}{\partial x}\Delta x \Delta y。因此整个环路积分就近似为(∂Q∂x−∂P∂y)ΔxΔy\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y。现在当我们把所有微小矩形拼成给定的区域时，我们发现重叠部分的路径积分相互抵消，只留下最外围的路径的积分，这些积分凭借起来就是向量场在区域边界上的积分，因此∑(∂Q∂x−∂P∂y)ΔxΔy\sum \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y就等于边界上的积分∫∂DPdx+Qdy\displaystyle\int\limits_{\partial D}Pdx+Qdy。

现在从三维角度来理解Green公式，它可以理解为向量场在某个平面上的分量绕平面边界的环路积分等于(∇×F⃗)(\nabla \times \vec F)这个奇特的项在垂直平面方向上的分量在平面上积分。现在我们依然把曲面分成无数个小平面片，对于每个平面片，我们是否分解向量对环路积分是不会产生影响的，而奇特的项的积分相当于乘以小平面片的面积，这样就得到：向量场在小平面片边界上的环路积分等于∇×F⃗\nabla \times \vec F垂直平面的分量乘以平面片面积。于是把所有小平面片累加，得到向量场在曲面边界上的环路积分等于∇×F⃗\nabla \times \vec F在曲面上的通量。

其中∇×F⃗\nabla \times \vec F称为“旋度”，用行列式可以写作∣i⃗j⃗k⃗∂x∂y∂zPQR∣\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\\partial_x & \partial_y & \partial_z\\P&Q&R\end{vmatrix}。同样地，把Stokes公式的右侧用积分中值定理写成∣Σ∣(∇×F⃗(P0))|\Sigma|(\nabla \times \vec F(P_0))，那么Stokes定理可以写作∫∂ΣF⃗⋅τ⃗ds∣Σ∣=∇×F⃗(P0)\dfrac{\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma}\vec F \cdot \vec{\tau}ds}{|\Sigma|}=\nabla \times \vec F(P_0)。保证P0P_0包在Σ\Sigma内部不断缩小Σ\Sigma，极限值就是右侧的旋度，即lim⁡D→P0∬∂ΣF⃗⋅τ⃗ds∣Σ∣=∇×F⃗(P0)\lim\limits_{D \to P_0}\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Sigma}\vec F \cdot \vec{\tau}ds}{|\Sigma|}=\nabla \times \vec F(P_0)，左侧是绕P0P_0一小圈的线积分，它反应的就是P0P_0点附近向量场的“旋转情况”。如果向量场正好以某种方式绕P0P_0旋转，旋度就不为0。

向量场的微商

从梯度、散度、旋度的定义中可以看到，在某个空间的边界上对函数做积分都相应的等价为梯度、散度、旋度在整个空间上做积分。所以我们可以把梯度、散度和旋度理解为“向量场的某种微商”。根据我们的记号，这三种微商分别记为∇f,∇⋅F⃗,∇×F⃗\nabla f,\nabla \cdot \vec F,\nabla \times \vec F。其中“梯度”必须作用在标量上，而“散度、旋度”必须作用在向量上。

梯度、散度、旋度分别是对向量场做了一阶的微商。那如果做二阶微商会得到哪些结果呢？在这个过程中，我们把∇\nabla记号当作向量一样根据向量的法则参与运算，称为“Hamilton算子”——其中梯度对应着向量的数乘， 散度就对应着向量的点乘，旋度就对应着向量的叉乘，那么二阶微商其实就是向量的“混合积”。但这只是我们在形式上产生的直观的理解，下面我们依次来推导：

梯度的旋度

我们可以证明

∇×(∇f)=0⃗\nabla \times (\nabla f)=\vec 0

它“对应着”混合积中的运算法则v⃗×(cv⃗)=c(v⃗×v⃗)=0⃗\vec v\times (c\vec v)=c(\vec v \times \vec v)=\vec 0，因为两个相同的向量夹角为0因此叉积为0⃗\vec 0。我们根据旋度和梯度的定义来验证确实如此：

(∂∂x,∂∂y,∂∂z)×(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=(∂2f∂y∂z−∂2f∂z∂y,∂2f∂z∂x−∂2f∂x∂z,∂2f∂x∂y−∂2f∂y∂x)=(0,0,0)\begin{aligned} &\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \times \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)\\=&\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}-\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial y},\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}-\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial z},\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}-\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\right)\\=&(0,0,0) \end{aligned}

它指出由一个标量函数的梯度构成的向量场的旋度处处为0，简称梯度的旋度为0⃗\vec 0。有趣的是把这个命题反过来，一个旋度处处为0的场是否一定是某个标量函数的梯度呢？要证明这样一个标量函数存在，等价于证明任何环路的积分都为0，而这是显然的——根据Stokes公式，任何环路的积分就等于其旋度在以这个环路为边界的空间上的积分，而旋度始终为0，所以这个积分也始终为0，因此任何环路的积分都必须等于0，也即在空间任意两点沿不同路径的积分都是一样的，积分与路径无关，因此这个标量函数存在。这个标量函数就称为“势”。

旋度的散度

现在证明

∇⋅(∇×F⃗)=0\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F})=0

它“对应着”混合积中的运算法则v⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec v\cdot (\vec v \times \vec w)=0，因为v⃗×w⃗\vec v \times \vec w是垂直于v⃗\vec v的。根据旋度和散度的定义来验证确实如此：

(∂∂x,∂∂y,∂∂z)⋅((∂∂x,∂∂y,∂∂z)×(Fx,Fy,Fz))=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)⋅(∂Fz∂y−∂Fy∂z,∂Fx∂z−∂Fz∂x,∂Fy∂x−∂Fx∂y)=∂2Fz∂x∂y−∂2Fy∂x∂z+∂2Fx∂y∂z−∂2Fz∂x∂y+∂2Fy∂x∂z−∂2Fx∂y∂z=0\begin{aligned} &\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \cdot \left(\left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right)\times (F_x,F_y,F_z) \right)\\=&\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \cdot \left(\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z},\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x},\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\right)\\=& \dfrac{\partial^2 F_z}{\partial x\partial y}-\dfrac{\partial^2 F_y}{\partial x\partial z}+\dfrac{\partial^2 F_x}{\partial y\partial z}-\dfrac{\partial^2 F_z}{\partial x\partial y}+\dfrac{\partial^2 F_y}{\partial x\partial z}-\dfrac{\partial^2 F_x}{\partial y\partial z}\\=&0 \end{aligned}

它告诉我们的是，一个向量函数的旋度构成的向量场的散度处处为0，简称旋度的散度为0。我们同样也尝试把这个命题反过来，一个散度处处为0的场是否一定是某个向量函数的旋度呢？答案是肯定的，但它的证明需要用到高级知识，这里就不证明了。

梯度的散度

当我们计算∇⋅(∇f)\nabla \cdot (\nabla f)时，我们发现它等价于(∇⋅∇)f(\nabla \cdot \nabla)f，也就是我们无需添加括号，而可以把它简记为∇2f\nabla^2 f。其中∇2=∂2∂2x+∂2∂2y+∂2∂2z\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial^2 x}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 y}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 z}，称为Laplace算子。

∇⋅(∇f)=∇2f\nabla \cdot(\nabla f)=\nabla^2 f

证明很容易：

(∂∂x,∂∂y,∂∂z)⋅(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=∂2∂2x+∂2∂2y+∂2∂2z\begin{aligned} &\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \cdot \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)=\dfrac{\partial^2}{\partial^2 x}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 y}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 z} \end{aligned}

它表示一个标量函数的梯度场的散度场等于直接由Laplace算子作用形成的标量场。

Laplace算子也可以作用在矢量上，∇2F⃗=(∇2Fx,∇2Fy,∇2Fz)\nabla^2 \vec F = (\nabla^2 F_x,\nabla^2 F_y,\nabla^2 F_z)。

旋度的旋度

∇×(∇×F⃗)=∇(∇⋅F⃗)−∇2F⃗\nabla \times (\nabla \times \vec F)=\nabla(\nabla \cdot \vec F)-\nabla ^2 \vec F

它对应于混合积中的“u⃗×(v⃗×w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec u \times (\vec v \times \vec w)=(\vec u \cdot \vec w)\vec v-(\vec u \cdot \vec v)\vec w”。证明如下：

(∂∂x,∂∂y,∂∂z)×((∂∂x,∂∂y,∂∂z)×(Fx,Fy,Fz))=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)×(∂Fz∂y−∂Fy∂z,∂Fx∂z−∂Fz∂x,∂Fy∂x−∂Fx∂y)=(∂∂y(∂Fy∂x−∂Fx∂y)−∂∂z(∂Fx∂z−∂Fz∂x),∂∂z(∂Fz∂y−∂Fy∂z)−∂∂x(∂Fy∂x−∂Fx∂y),∂∂x(∂Fx∂z−∂Fz∂x)−∂∂y(∂Fz∂y−∂Fy∂z))=(∂∂x(∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z),∂∂y(∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z),∂∂z(∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z))+((∂2∂2x+∂2∂2y+∂2∂2z)Fx,(∂2∂2x+∂2∂2y+∂2∂2z)Fy,(∂2∂2x+∂2∂2y+∂2∂2z)Fz)=∇(∇⋅F⃗)−∇2F⃗\begin{aligned} &\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \times \left(\left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right)\times (F_x,F_y,F_z) \right)\\=&\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \times \left(\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z},\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x},\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\right)\\=&\left(\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\right)-\dfrac{\partial }{\partial z}\left(\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x}\right), \dfrac{\partial }{\partial z}\left(\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z}\right)-\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\right), \dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x}\right)-\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z}\right)\right)\\ =&\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}\right),\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}\right),\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}\right)\right)+\left(\left(\dfrac{\partial^2}{\partial^2 x}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 y}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 z}\right)F_x,\left(\dfrac{\partial^2}{\partial^2 x}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 y}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 z}\right)F_y,\left(\dfrac{\partial^2}{\partial^2 x}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 y}+\dfrac{\partial^2}{\partial^2 z}\right)F_z\right)\\ =&\nabla(\nabla \cdot \vec F)-\nabla ^2 \vec F \end{aligned}

静电学

静电学包括两个基本方程

∇⋅E⃗=ρϵ0\nabla \cdot \vec E = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} ∇×E⃗=0\nabla \times \vec E=0

可见，静电学的基本方程是通过散度和旋度来描述的。这是把“电场”这一概念从场论的角度进行描述。下面我们证明，这种描述方式与高中学习的“库仑定律”是等价的。

库仑定律指出，真空中两个静止的点电荷q1,q2q_1,q_2之间存在库仑力（方便起见，我们只讨论同种电荷的情形，异种电荷的情形是完全相同的），其方向沿点电荷连线方向，大小为F⃗=kq1q24πϵ0\vec F = \dfrac{kq_1q_2}{4\pi \epsilon_0}。由此写出点电荷固定在原点处时，产生的电场强度在空间中以向量场的形式表现为

E⃗=q4πϵ0∥r⃗∥3r⃗=q4πϵ0∥r⃗∥3(x,y,z)\vec E=\dfrac{q}{4\pi \epsilon_0 \|\vec r\|^3}\vec r=\dfrac{q}{4\pi \epsilon_0 \|\vec r\|^3}\left(x,y,z\right)

那么容易验证它的旋度为0：

∇×E⃗=q4πϵ0((∂∂x,∂∂y,∂∂z)×(x(x2+y2+z2)32,y(x2+y2+z2)32,z(x2+y2+z2)32))=q4πϵ0(−3yz+3zy(x2+y2+z2)3,−3xz+3zx(x2+y2+z2)3,−3xy+3yx(x2+y2+z2)3)=(0,0,0)\begin{aligned} &\nabla \times \vec E\\ =&\dfrac{q}{4\pi \epsilon_0}\left(\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \times (\dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}},\dfrac{y}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}},\dfrac{z}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}})\right)\\ =&\dfrac{q}{4\pi \epsilon_0}\left(\dfrac{-3yz+3zy}{(x^2+y^2+z^2)^3},\dfrac{-3xz+3zx}{(x^2+y^2+z^2)^3},\dfrac{-3xy+3yx}{(x^2+y^2+z^2)^3}\right)\\ =&(0,0,0) \end{aligned}

而它的散度需要分是否为原点讨论，如果不是原点，那么

∇⋅E⃗=q4πϵ0((∂∂x,∂∂y,∂∂z)⋅(x(x2+y2+z2)32,y(x2+y2+z2)32,z(x2+y2+z2)32))=3q4πϵ0(3(x2+y2+z2)32−3(x2+y2+z3)(x2+y2+z2)12(x2+y2+z2)3)=0\begin{aligned} &\nabla \cdot \vec E\\ =&\dfrac{q}{4\pi \epsilon_0}\left(\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \cdot (\dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}},\dfrac{y}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}},\dfrac{z}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}})\right)\\ =&\dfrac{3q}{4\pi \epsilon_0}\left(\dfrac{3(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}-3(x^2+y^2+z^3)(x^2+y^2+z^2)^\frac{1}{2}}{(x^2+y^2+z^2)^3}\right)\\ =&0 \end{aligned}

而原点处的散度可以通过Gauss公式求得：选取任意一个包含原点的封闭曲面Ω\Omega，并以原点为球心选取一个半径为rr的球体，那么根据Gauss公式得到

∬∂DE⃗⋅n⃗dS=∭D∇⋅E⃗dV=0\displaystyle\iint\limits_{\partial D}\vec E \cdot \vec{n}dS=\iiint\limits_{D}\nabla \cdot \vec EdV=0

而边界恰好分为两部分，所以有

∬∂ΩE⃗⋅n⃗dS=∬∂Br(0)E⃗⋅n⃗dS\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec E \cdot \vec{n}dS=\displaystyle\iint\limits_{\partial B_r(0)}\vec E \cdot \vec{n}dS

代入E⃗⋅n⃗=q4πϵ0r2\vec E \cdot \vec n = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}得到RHS=4πr2⋅q4πϵ0r2RHS=4\pi r^2 \cdot \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0r^2}就得到∬∂ΩE⃗⋅n⃗dS=qϵ0\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec E \cdot \vec{n}dS=\dfrac{q}{\epsilon_0}。这就是静电学中的Gauss定理，它指出某闭合曲面的电通量等于曲面内包裹的电荷总量除以ϵ0\epsilon_0。

那么根据散度的几何意义lim⁡Ω→P0∬∂ΩF⃗⋅n⃗dS∣Ω∣=∇⋅F⃗(P0)\lim\limits_{\Omega \to P_0}\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS}{|\Omega|}=\nabla \cdot \vec F(P_0)得到原点处的散度∇⋅E⃗=lim⁡r→0qϵ0⋅1∣V∣=ρϵ0\nabla \cdot \vec E=\lim\limits_{r \to 0}\dfrac{q}{\epsilon_0} \cdot \dfrac{1}{|V|}=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}。

这样我们就验证了库仑定律能够推出这两条性质。下面由这两条性质推库仑定律的过程是类似的，这里不再赘述。

正是因为静电场的旋度恒为0，因此这个矢量场一定存在标量势。这就是我们通常所说的电势。电势的梯度就是电场强度。

静磁学

静磁学的基本方程为

∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec B = 0 ∇×B⃗=j⃗ϵ0c2\nabla \times \vec B=\dfrac{\vec j}{\epsilon_0c^2}

其中，(23)(23)告诉我们磁场的散度处处为0，这意味着磁感线并没有某个源点或某个汇点——磁场不像电荷那样存在某个正电荷或负电荷，磁单极子是不存在的。(24)(24)告诉我们磁感应强度沿封闭曲线的环量正比于通过该曲面的电流。因为根据(24)(24)，假设有一根无限长的直导线电流为II，那么根据Stokes定理∫ΓB⃗⋅ds⃗=∬D(∇×B⃗)⋅n⃗dS\displaystyle\int\limits_{\Gamma} \vec B \cdot d\vec s=\iint\limits_{D} (\nabla \times \vec B)\cdot \vec n dS。将磁场的旋度代入，得∫ΓB⃗⋅ds⃗∝∬Dj⃗⋅dS⃗\displaystyle\int\limits_{\Gamma} \vec B \cdot d\vec s\propto\iint \limits_D \vec j \cdot d\vec S。

我们也可以由毕奥-萨伐尔定律验证这一点。设无限长的通电直导线位于zz轴，电流恒为II，指向正方向。那么根据毕奥-萨伐尔定律xOyxOy平面上位置r⃗\vec r处的磁感应强度大小为μ0I2π∥r⃗∥\dfrac{\mu_0I}{2\pi \|\vec r\|}，方向垂直于r⃗\vec r与导线。那么写作分量形式为B⃗=μ0I2π(x∥r⃗∥2,y∥r⃗∥2,0)\vec B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi}(\dfrac{x}{\|\vec r\|^2},\dfrac{y}{\|\vec r\|^2},0)。于是可以求出B⃗\vec B的散度

∇⋅B⃗=μ0I2π(∂∂x(xx2+y2)+∂∂y(yx2+y2))=μ0I2π(y2−x2+x2−y2x2+y2)=0\begin{aligned} &\nabla \cdot \vec B\\ =& \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)\right)\\ =&\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\left(\dfrac{y^2-x^2+x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)\\ =&0 \end{aligned}

不是原点时：

∇×B⃗=μ0I2π((∂∂x,∂∂y,∂∂z)×(xx2+y2,yx2+y2,0))=(0,0,0)\begin{aligned} &\nabla \times \vec B\\ =&\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\left(\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \times (\dfrac{x}{x^2+y^2},\dfrac{y}{x^2+y^2},0)\right)\\ =&(0,0,0) \end{aligned}

而对于原点处的旋度，我们采取相同的处理方法，任取一条过原点的环路，再取原点周围半径为rr的环路， 那么根据Stokes公式和旋度的几何意义，得到

∫∂Br(0)B⃗⋅ds⃗=∫ΓB⃗⋅ds⃗\displaystyle\int\limits_{\partial B_r(0)} \vec B \cdot d\vec s=\int\limits_{\Gamma}\vec B \cdot d\vec s

因此lim⁡D→P0∬∂ΣB⃗⋅ds⃗∣Σ∣=∇×B⃗(P0)∝j⃗\lim\limits_{D \to P_0}\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Sigma}\vec B \cdot d\vec s}{|\Sigma|}=\nabla \times \vec B(P_0)\propto \vec j

总结

场的微分有三种形式，分别对应梯度、散度和旋度。这三种形式都有相应的“牛顿-莱布尼兹公式”形式的公式，对应梯度定理、散度定理、旋度定理。当我们用这三种方法连续做两次微分的时候，我们会得到一些有趣的结论，这些结论在形式上和向量点积叉积的混合运算是一样的，因为散度就对应着算子的点积，旋度就对应着算子的叉积。最后我们看到了电磁学的基本定理就是通过场的微分这种形式来给出的，我们通过例子对这些定理有了一个基本的了解。

参考资料

[1] R. 费恩曼，费恩曼物理学讲义

[2] 陈纪修，数学分析

[3] 卓里奇，数学分析