无理数的无理数次方可能是有理数

下面证明，$\exists z \in \Q,x,y\in \R\setminus \Q,z=x^y$

假设\sqrt{2}^\sqrt{2}\in\Q，那么取$x=\sqrt{2},y=\sqrt{2}$，命题得证；

假设\sqrt{2}^\sqrt{2}\not\in\Q，那么取x=\sqrt{2}^\sqrt{2},y=\sqrt{2}，有$x^y=\sqrt{2}^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=(\sqrt{2})^2=2$，命题得证；

Rmk. 在以上证明中，我们只是证明了存在这样的$z$，但并不能通过以上证明知道这个$z$具体应当取什么值。该证明能够成立，是因为我们假设了排中律成立：\sqrt{2}^\sqrt{2}\in\Q与\sqrt{2}^\sqrt{2}\not\in\Q中至少有一个为真。这就是为什么直觉主义逻辑的学者不认可排中律作为推理的公理，因为排中律允许我们在不给出一个存在量词的具体见证时就证出一个带有存在量词的命题。