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01 Probabilistic Systems

DennyQi · January 27, 2026 · 7 min read

经典概率系统

让我们考虑一个nn个节点的带权有向图，用来描述某一粒子在nn个状态（对应于nn个节点）之间状态转移的概率图。对于u→vu\to v的有向边，设其边权ww，其含义为：若某一时刻粒子位于状态uu，则其在下一时刻有ww的概率转移至状态vv（规定0≤w≤10\leq w\leq 1）。我们要求该图满足下面两条性质：(1) 每个节点的所有出边的权重之和为11；(2) 每个节点的所有入边的权重之和为11。其中，(1)是自然的，因为我们要为每一种状态转移分配一定的概率，总的概率为11；在一般的概率转移图里，(2)是不一定满足的，但我们将会看到这种入边的权重之和也要为11的性质是量子世界的某种定律，我们之后会详细讨论。

于是，当我们用邻接矩阵把满足上述两个条件的概率图写出来时，该矩阵满足每行每列的和都为11。这样的矩阵被称为是双随机矩阵(doubly stochastic matrix)。为了数学上的方便，我们用Mi,jM_{i,j}来记录jj到ii的边权（而不是ii到jj）。

让我们取一个nn维列向量XX表示粒子的初始状态。该初始状态满足各个维度权重都是0,10,1之间的实数，且各维度权重之和为11，用来表示初始时XX位于各个状态的概率。于是，要计算下一时刻粒子位于各个状态的概率X′X'，只需做Xi′=∑j∈[n]Mi,jXjX'_i=\sum\limits_{j\in [n]}M_{i,j}X_j。这恰好对应于矩阵乘法X′=MXX'=MX。可以验证，Xi′X_i'的各个维度权重之和依然保持为11：∑i∈[n]Xi′=∑i∈[n]∑j∈[n]Mi,jXj=∑j∈[n]Xj∑i∈[n]Mi,j=∑j∈[n]Xj=1\sum\limits_{i\in[n]}X_i'=\sum\limits_{i\in [n]}\sum\limits_{j\in [n]}M_{i,j}X_j=\sum\limits_{j\in [n]}X_j\sum\limits_{i\in [n]}M_{i,j}=\sum\limits_{j\in [n]}X_j=1。这里用到了图的性质(1)，出边之和为11。

给定某一粒子状态XX，如果想要计算上一时刻粒子的状态，我们自然会想要求出列向量WW，使得X=MWX=MW。如果MM是可逆的，那么通过W=M−1XW=M^{-1}X就可以求出。但是，MM不一定是可逆的，比如[1/21/21/21/2]\begin{bmatrix}1/2 & 1/2\\1/2 & 1/2\end{bmatrix}。另一方面，考虑X=[10]X=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}，M=[4/51/51/54/5]M=\begin{bmatrix}4/5 & 1/5\\1/5 & 4/5\end{bmatrix}，那么计算可得M−1=[4/3−1/3−1/34/3]M^{-1}=\begin{bmatrix}4/3 & -1/3\\-1/3 & 4/3\end{bmatrix}，W=[4/3−1/3]W=\begin{bmatrix}4/3 \\ -1/3\end{bmatrix}。可见，代数意义上的求逆并不是我们想要的，它可能会给出“负概率”这样的无意义结果。

所以让我们换一个角度考虑这个问题。让我们把XX做转置，变成一个行向量X⊤X^\top，然后把X⊤X^\top乘在MM的左边，得到X⊤M=ZX^\top M=Z。这样得出的ZZ满足Z⊤=M⊤XZ^\top=M^\top X。可以看到，M⊤M^\top也即把所有有向边都调换了方向之后的概率转移图。ZZ的各个维度之和依然是11：∑i∈[n]Zi=∑i∈[n]∑j∈[n]Mj,iXj=∑j∈[n]Xj∑i∈[n]Mj,i=∑j∈[n]Xj=1\sum\limits_{i\in[n]}Z_i=\sum\limits_{i\in [n]}\sum\limits_{j\in [n]}M_{j,i}X_j=\sum\limits_{j\in [n]}X_j\sum\limits_{i\in [n]}M_{j,i}=\sum\limits_{j\in [n]}X_j=1。这用到了图的性质(2)，入边之和为11。可以看到，这种基于转置的做法不需要要求MM是可逆的，并且仍然能够保证状态是一个概率分布。这更符合我们对“上一时刻”的直观，所以我们把这作为“上一时刻”的定义。

量子系统