韦达定理

韦达定理(Vieta's formulas)从数学本质上看，只是二次方程求根公式的一个应用：对于二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个解$x_1,x_2$的和与积满足

$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$$

证明：

$x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\dfrac{2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$；

$x_1\cdot x_2=\dfrac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$。

既然如此，为什么还要把韦达定理当作一个特别的“定理”来强调呢？事实上，韦达定理揭示的是二次方程的系数和根的一种“关系”，这种关系有时会表面上脱离“二次方程”这一背景而出现。

比如，考虑这样一个问题：对于任意两个实数$u,v$，我们是否总是能找到两个实数$x_0,y_0$使得$u=x_0+y_0,v=x_0\cdot y_0$。为了回答这个问题，最简单粗暴的方法当时是去解这个方程组，经过消元我们会得到一个二次方程，但是消元时我们必须对$x_0,y_0$是否为0做分类讨论。如果应用韦达定理，就可以绕过上面这个繁琐的过程：如果“$u=x_0+y_0$，$v=x_0\cdot y_0$”，那么$x_0,y_0$恰好是方程$x^2-ux+v=0$的两个根。而方程$x^2-ux+v=0$有根当且仅当$u^2-4v\geq 0$。所以，对于任意实数$u,v$，只要$u^2-4v\geq 0$，方程$x^2-ux+v=0$一定有解，所以一定可以做分解$u=x_0+y_0,v=x_0\cdot y_0$；如果$u^2-4v<0$，那么方程$x^2-ux+v=0$无解，此时不可能做分解$u=x_0+y_0,v=x_0\cdot y_0$：因为如果存在这样的$x_0,y_0$，那么$u^2-4v=(x_0+y_0)^2-4x_0y_0=(x_0-y_0)^2\geq 0$，矛盾）；