00 什么是代数

代数

代数(algebra)这个词最早就是指“用字母表示数”。让我们来考虑“鸡兔同笼”问题：一个笼子里有若干只两只脚一个头的鸡，四只脚一个头的兔。假设已知头共有$7$个，脚共有$22$只，那么笼子里有几只鸡几只兔？作为经典“小学奥数”题，我们可以用“算术”的方法解这道题：假设笼子里全是鸡，那么脚应该是$14$只。但是已知脚有$22$只，而每把一只鸡替换成兔，会“增加$2$只脚”。要做几次替换才行呢？替换的次数为$(22-14)/2=4$，可见笼子里兔子有$4$只。所以鸡有$7-4=3$只。所以，根据题目中给定的数字$7,22$以及隐含的数字$2,4$，我们可以直接用算术表达式计算兔子的数量$(22-2\times 7)/2$和鸡的数量$7-(22-2\times 7)/2$。后来我们知道，可以用“代数”的方法解这道题：设鸡有$x$只，兔有$y$只。我们知道$x,y$表示自然数，但不预先知道$x,y$表示的自然数具体是多少，但我们知道$x,y$必须满足条件$x+y=7$，$2x+4y=22$。于是问题转化为解这个线性方程组，相比于原本题目的描述，问题变得“抽象”了，因此也适用于另一个表面看上去完全不同的数学题：“抽到红球得$2$分，抽到蓝球得$4$分，小明抽了$7$次得了$22$分，请问小明抽到了几次红球？”运用代数的方法，众多的数学应用题统统转化了“解方程”的问题。可以说在最初，“代数”这个词的含义和“解方程”是相同的。

在一元情形中，一次方程、二次方程、三次方程、四次方程都是有根式解的，也即通过对给定的方程的系数进行有限次的加减乘除和开方运算，就可以得到方程的精确解。但是五次方程的解析解却一直没被找到，后来人们证明了五次方程是没有根式解的！进一步，五次以上的方程也都是没有根式解的。可以说，这是关于我们所在的宇宙的一个根本的现象：为什么“$5$”这么特殊？是什么造成了“根式解”的局限性？人们想知道，为什么在四次方程以下时“配方法”、“换元法”这样的方法是有效的，而到了五次方程这样的方法就失效了。要研究这些内容，就不只是“用字母表示数”那么简单了，我们想研究的是“运算”本身的性质。在刚接触数学时，我们就已经在某种程度上研究过“运算”本身所带来的“结构”了。对于自然数上的“加法”运算和“乘法”运算，我们可以对自然数进行“分类”。比如，如果一个数能被一连串$2$相加表示，就称为“偶数”，否则称为“奇数”；如果一个数能写成两个大于$1$的比它更小数的乘积，就称为“合数”，否则称为“素数”。“素数”这一概念第一次向我们展现了自然数“结构”的复杂性，它的分布没有简单的规律——我们必须把$100$以内的素数表背下来，不存在某种更简单的方法来记忆。有关自然数的加法和乘法的问题可能是极端复杂的，比如“当$n>2$时，不存在正整数$x,y,z$使得$x^n+y^n=z^n$”，这称为费马大定理(Fermat's Last Theorem)；又比如“对于任何大于$2$的整数$n$，都存在素数$p,q$使得$n=p+q$”，这称为哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture)。其中，费马大定理已经被证明了，但其证明是如此复杂，涉及到模形式、椭圆曲线等等理论。难道自然数不是最简单的数学对象吗？为什么证明有关自然数的命题会涉及到这么多看似与自然数不直接相关的理论？我想，这个问题的答案是：自然数并不是最“简单”的数学对象，定义在自然数上“加法”和“乘法”是具体且复杂的，以至于关于它们的性质是难以预测的。

于是，在研究“运算”本身时，我们就相比于原先“用字母表示数”的抽象又做了一层抽象，所以现代的代数被称为“抽象代数(abstract algebra)”。自然数上的“加法”、“乘法”这样的运算所具有的性质被抽象出来以后，会在许多出人意料的地方产生作用。让我们来看一个例子：整数上的加法有“封闭性”，也即两个整数相加得到的结果依然是一个整数；加法有“结合律”，两个数先加再和另一个数加，结果等效于另外两个数相加，再和这个数加；有一个整数“$0$”，它和所有整数做加法都得到那个数本身；每个数有一个相反数，一个数和它的相反数相加得到$0$。我们发现，整数加法的这些性质也是“旋转”这一动作所具有的。假设平面上有一个物体，可以对它做顺时针或逆时针的旋转。那么，旋转有“封闭性”，两次旋转的叠加总是可以等效于某一种单次的旋转；旋转有结合律，也即实施旋转的先后顺序不影响结果；“不转”就对应整数“0”；反着转就对应“相反数”。所以某种意义上我们可以说，研究整数的加法就是在研究平面上的旋转操作。这就是“抽象”带来的好处，它总可以让我们把结论推广到更多的场景。