09 多元函数的极限与连续

Euclid空间

对向量定义了加法和数乘，满足对加法和数乘封闭以及八条基本性质的空间称为线性空间。在线性空间的基础上定义两个向量的内积运算并满足正定律、交换律和分配律这三条性质的空间称为内积空间。在线性空间的基础上，定义向量的范数并满足正定律、三角不等式和提取常数范数这三条性质的空间称为赋范空间。在线性空间的基础上，定义向量之间的距离并满足正定性、对称性和三角不等式这三条性质的空间称为度量空间。

$\R^n$ 是一个非常特殊的线性空间。在 $\R^n$ 中定义内积运算 $x \cdot y = \sum\limits_{i \in [n]}x_iy_i$ ，就得到了一个特殊的内积空间Euclid空间。在其中定义Euclid范数 $\|x\|=\sqrt{x \cdot x}$ ，Euclid距离 $\|x-y\|=\sqrt{\sum\limits_{i \in [n]}(x_i-y_i)^2}$ 。

点列的极限

注意到实数极限的定义仅仅依赖于对“距离”的刻画（邻域的定义）。因此对于Euclid空间中的点列，沿用数列极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义，将其中的距离替换为度量空间中定义的距离，就得到了Euclid空间中“点列”的极限的定义。可以放缩证明，点列 $\{x_n\}$ 收敛到 $x_0$ 当且仅当它的每一维坐标 $x_k^{(j)}$ 都收敛到 $x_0^{(j)}$ 。

度量空间能够保留实数间距离的刻画，因此这样定义的空间点列的极限可以继承数列极限的唯一性、有界性、加减运算法则。但是点列不同于实数，它没有序结构，因此基于实数比较的定理都不再有意义，例如空间点列极限不再具有保号性、夹逼性。点的“乘除法”也是没有意义的。

Euclid空间中的点集

设点 $x_0 \in \R^n$ ，集合 $E \subset \R^n$ 。定义：

内点：若 $\exists \delta>0$ 使得 $U(x_0,\delta) \subset E$ ，则称 $x_0$ 为 $E$ 的内点。即存在一个邻域，使得邻域内的点全部都属于 $E$ 。内点一定属于 $E$ ，它周围的一小圈也必须还在集合内。

内部： $E$ 的全体内点的集合称为 $E$ 的内部，记为 $E^{\circ}$ 。

外点：若 $\exists \delta>0$ 使得 $U(x_0,\delta) \cap E=\empty$ ，则称 $x_0$ 为 $E$ 的外点。这等价于 $x_0$ 是 $E$ 的补集的内点。外点一定在集合外，它周围的一小圈也还是在集合外。

边界点：若 $\forall \delta>0$ 有 $U(x_0,\delta) \cap E \neq \empty$ 且 $U(x_0,\delta) \cap E^{C} \neq \empty$ ，则称 $x_0$ 为 $E$ 的边界点。边界点可能在集合内也可能在集合外，它周围任意小的一小圈必须又有在集合内的又有在集合外的。

边界： $E$ 的全体边界点的集合称为边界，记作 $\partial E$ 。

孤立点：如果存在一个邻域使得这个邻域与 $E$ 的交集只有这个点本身，就称这个点为孤立点。

我们发现，我们对点集内外的讨论已经完全了。如果 $\R^n$ 中一个点不是内点，那么它周围任意小的邻域都必须有 $E$ 以外的点，如果小到一定程度只剩 $E$ 以外的点了，那它就是外点；否则就意味着无论邻域多小都有 $E$ 内的点和 $E$ 外的点，那它就是边界点。所以内部、外部、边界的并集就是整个空间。并且，内部、外部、边界之间一定是没有交集的，如果一个点同时属于其中的两个就会和定义发生矛盾。因此我们可以说，内点、外点、边界点是对 $\R^n$ 内点的well-defined的一种分类方法。

聚点：如果 $x_0$ 的所有去心邻域与 $E$ 的交集都不为空，就称它为 $E$ 的聚点。注意，聚点不一定属于 $E$ 。内点一定是聚点，外点一定不是聚点，边界点有可能是也有可能不是。根据极限的定义，可以根据定义证明一个点是聚点当且仅当存在 $E$ 中的一个互异点列趋向它。

导集： $E$ 的全体聚点的集合称为导集，记作 $E'$ 。

开集：所有点都是内点的集合称为开集，即 $E^{\circ}=E$ 。我们发现，任何点集的内部 $E^{\circ}$ 一定是开集（对于任何一个 $E^{\circ}$ 中的点，它一定是 $E$ 的内点，那么它周围的邻域全都包含在 $E$ 中，我们可以取更小的一圈，而小圈里的每个点都可以取一小圈包含在小圈里的点，所以小圈里的点都属于 $E^\circ$ ，所以这个点一定是 $E^\circ$ 的内点），并且是包含于 $E$ 的最大开集（ $E^\circ$ 本身就包含于 $E$ ，因此只需证“最大”：对于任何一个包含于 $E$ 的开集 $F$ ，其中的元素 $x$ 一定是 $F$ 的内点，因此也是 $E$ 的内点，所以 $F \subseteq E^\circ$ ）。

闭集：满足 $E' \subset E$ 的称为闭集，即闭集中所有聚点必须都在集合里而不能跑到集合外部去。闭集的“闭”可以理解为对取极限封闭，一个由闭集内部的点构成的点列取极限，其极限就是一个聚点，必须在集合内。开集则不同，取极限可能取到集合外。

闭包： $\bar{E}=E \cup E'$ 。任何集合的闭包 $\overline{E}$ 一定是闭集（闭包中的点要么是 $E$ 中的点要么是聚点。如果闭包不是闭集，即存在一个闭包内的点列趋向一个闭包外的点。对于这个点列中不属于 $E$ 的那些点，它们都是 $E$ 的聚点，因此可以用一列 $E$ 中的点来逼近。因此我们可以通过这些点来构造出一个单纯由 $E$ 中的点组成的点列来逼近这个闭包外的点，这样这个点就是 $E$ 的聚点，所以必须在闭包内，矛盾），并且是包含 $E$ 的最小的闭集（同样地，只需证明任何一个包含 $E$ 的闭集 $F$ 都满足 $\overline{E} \subseteq F$ 。对于 $\overline{E}$ 中的一个点 $x$ ，如果它是 $E$ 中的点就必然属于 $\overline{E}$ ，所以属于 $F$ ；如果它是聚点，就可以用 $E$ 中的一列点逼近，也即用 $F$ 中的一列点逼近，所因为 $F$ 是闭集，所以 $x$ 一定属于 $F$ ）。因此，一个闭集的导集就是它本身，它的闭包就是它自己。

存在即不是开集又不是闭集的集合（比如 $[1,2)$ ，那么 $\{1\}$ 不是内点，所以它不是开集； $\{2\}$ 是聚点，所以它不是闭集），也存在既是开集也是闭集的集合（后者只有 $\R^n$ 和 $\empty$ 这两个）。

可以证明： $E$ 是闭集当且仅当 $E$ 的补集 $E^C$ 是开集。左推右，如果 $E^C$ 不是开集，那么存在一个 $E^C$ 中的点不是内点，也即无论邻域取得多么小总能存在一个 $E$ 中的点，所以存在 $E$ 中的一个点列逼近这个点，这个点应当是 $E$ 的聚点，所以应当在 $E$ 内部，矛盾；右推左，如果 $E$ 不是闭集，那么存在 $E^C$ 中的一个点是 $E$ 的聚点，因此存在一列 $E$ 中的点逼近这个点，那么这个点的任何邻域内都有 $E$ 中的点，所以这个点不是 $E^C$ 的内点，与 $E^C$ 是开集矛盾。

可以证明：任意多个开集的并仍是开集，有限个开集的交仍是开集；任意多个闭集的交仍是闭集，有限个闭集的并仍是闭集。证明只需按照定义：每个开集中的点都是该集合的内点，那么合并后它依然能够作为原来集合的内点，所以也是并集的内点；交集内每个点在原来的集合里都是内点，存在一个邻域被包在原来的集合里，我们把领域取成空间中的球体，把这些球体取交集，交集就是最小半径的球体，由于是有限个，这个最小值一定存在（如果是无限个就可能趋向0），这个最小球一定被包在这些交集内，所以这个点就是交集的内点；而对闭集的证明，只需要把每个集合先取补集，就转化为任意多开集的并的补和有限个开集的交的补，它们都是开集的补，所以都是闭集。

拓扑空间

到目前为止，我们是基于内点、外点、边界点、聚点的定义给出开集和闭集的定义的，而内点、外点、边界点、聚点的定义是基于点列的极限的，而点列的极限是基于度量空间的。

而事实上，开集和闭集的定义一定得建立在度量空间的基础之上吗？应该注意到，我们对“极限”的研究中重要的是“邻域”概念本身而不是“度量”。我们可以用“度量”来定义邻域，但“度量”却不是“邻域”本身所具有的最根本的性质。所以，如果我们进一步抽象，将刚刚由度量空间导出的“任意多个这种东西的并仍是这种东西，有限个这种东西的交仍是这种东西”的性质作为某种新的空间的定义，由它出发就可以用更一般的形式研究“极限”。这就是拓扑空间。拓扑空间的性质就是我们刚刚在度量空间情形下证明的“开集的性质”。相应地，如果我们能在一个别的度量空间上定义出“开集”，那么这个空间也就能称为“拓扑空间”。

$\R^n$ 中的基本定理

回到 $\R^n$ 中来。在实数中，我们通过实数的序结构证明出了描述实数连续性（完备性）的基本定理，它有许多种表述方式，其中最直接的就是“确界存在定理”，它指出任何一个有界实数集合都有确界。然而对于高维空间，“点”是没有序结构的，因此也不能存在高位情形下的“确界存在定理”（同样的，“单调有界必收敛”也不存在）。然而我们知道，“确界存在定理”是有等价描述的，并且诸多等价描述中有一些并没有涉及到实数的序结构（神奇的事）。对于这些定理，它们就顺理成章地被推广到了高维，因此也就成为了描述 $\R^n$ 连续性（完备性）的基本定理。

Cauchy收敛原理

$\R^n$ 中的点列收敛的充分必要条件是，点列中存在足够大的一项使得这之后的任意两项的距离都能任意小。

这个定理是实数情形下的Cauchy收敛原理的直接推广，因为我们证明过“点列”的收敛等价于点列的“每一维坐标”的收敛。而“每一维坐标”都是实数，它的收敛等价条件就是实数上的Cauchy收敛——足够大一项之后振幅任意小。由于维数是有限的，各个维度振幅任意小自然就能推出“点列振幅”任意小。

闭集套定理

如果 $\R^n$ 中的层层嵌套的闭集直径（定义为集合内任意两点间的距离的上确界）趋向0，那么有且仅有唯一的一点落在闭集套内。

我们用Cauchy收敛原理来证明：我们一次在每个闭集套内取出一个点，随着闭集套的缩小我们得到一个点列。由于闭集套的直径趋向0，这些点列可以在某一项之后满足振幅任意小，这就满足了 $\R^n$ 中的Cauchy收敛原理，因此这个点列必定收敛于某个极限点。由于闭集能保证对取极限封闭，我们在闭集套的任何某个闭集里观察这个极限点都一定落在该闭集内，也即这个极限点落在所有闭集内，也就是落在闭集套内。而这个点也必定是唯一的，因为如果有两个点就会产生一个大于0的距离，当闭集足够小的时候就不能同时包下这两个点了。

Bolzano-Weierstrass定理

$\R^n$ 中的有界点列必有收敛子列（对无限维空间不成立。反例： $\{1,0,0,\cdots\}$ ， $\{0,1,0,\cdots\}$ ， $\{0,0,1,\cdots\}$ ， $\cdots$ ）。

由于点列有界，那么每一维对应的数列都是有界的。根据实数的有界必收敛原理，每一维的数列都有收敛子列。根据第一维中的收敛子列取出一个点列，在这个点列中再次筛选出第二维也收敛的……由于点列始终有无穷个，我们最终会筛选出一个每一维都收敛的点列，它一定是原点列的子列。这样就得到了一个收敛的子列。注意在这个证明过程中我们只用到了实数中的基本定理，没有涉及刚才证明的任何 $\R^n$ 中的基本定理。

聚点定理

$\R^n$ 中的有界无限点集至少有一个聚点。

每次从无限点集里取出一个不同的点，可以得到一个无限长的互异点列。这个点列是有界的，因此根据Bolzano-Weierstrass定理，它一定存在收敛子列（同时是互异的）。这个子列的极限点就是一个聚点。注意，在这里我们没有要求这个聚点一定要属于这个有界无限点集。

Heine-Borel定理

如果一个集合能被包含于一系列（可能是无限个）开集的并，就称这些开集为这个集合的一个开覆盖。任何集合都有开覆盖，只需要对集合中的每个元素都用一个开集盖住就好了。一个集合可以有无数个不同的开覆盖。如果它的任何一个开覆盖都存在一个有限的子集（即从原覆盖中挑出有限个开集）使其依然覆盖整个集合，那么就称这个集合为一个紧集。

在实数情形时，我们有“有限覆盖定理”：任何一个闭区间的开覆盖都存在有限子覆盖。当时我们的“开集”是指开区间。有了“紧集”的概念以后，我们可以这样描述这个定理——闭区间是紧集。现在我们把它推广到 $\R^n$ 中，我们想知道实数中的“闭区间”对应着一般空间中的什么。

$\R^n$ 中的有限覆盖定理指出：一个集合为紧集当且仅当它是一个有界闭集。左推右，如果 $E$ 是紧集，那么我们可以对于 $E$ 中的每个点都构造一个以它为中心半径为1的“开球”，所有这些开球并起来得到 $E$ 的一个开覆盖，这个开覆盖存在有限子覆盖，有限个半径为1的开球一定是有界的，所以 $E$ 也必须有界；而如果 $E$ 不是闭集，那么存在一个 $E$ 中点列趋向 $E$ 外的一个点 $x_0$ ，可以构造一个覆盖除了 $x_0$ 以外所有点的开覆盖——我们构造一系列开集，每个开集是所有到 $x_0$ 距离大于 $k$ 的所有点，并让 $k$ 趋向0，显然这列开集将覆盖所有除了 $x_0$ 以外的点，所以一定覆盖了 $E$ ，根据 $E$ 是紧集可以从中选出一个有限子覆盖，这就与存在点列趋向 $x_0$ 矛盾。右推左，我们用闭集套来证：如果有界闭集不是紧集，那么存在一个开覆盖 $U$ 没有有限子覆盖，由于它有界，我们用一个闭集盖住它然后分成切成若干份，肯定有一份（和有限闭集取交后）没有 $U$ 的有限子覆盖，不然整体就一定有有限子覆盖，那么再把这一份切成若干份，肯定还是有一个不能覆盖，依此类推，得到了一个闭集套，被套在里面的那个唯一的点是原来集合里的，由于闭集套直径是可以任意小的，总会小到一个程度是 $U$ 中的一个开集就能覆盖住的，这就推出了矛盾。

我们能够想象，实数中有限个分立的点确实也构成了一个紧集，因此我们不能把实数的有限覆盖定理叙述成“集合是紧集当且仅当它是闭区间”。

这个定理使得我们可以用新的一种方式来描述“有界闭集”，它只用到了开集的定义，这就使得我们可以再次避开度量空间抽象出一般拓扑空间的“紧集”。我们可以利用极限定义，用“自列紧”来等价描述紧集：一个集合中任意点列都有收敛子列且极限点仍在集合中的集合。

多元函数的极限

重极限

多元函数是 $\R^n$ 到 $\R$ 的映射（记为 $f: \R^n \to \R$ ）。其定义域是 $\R^n$ 中的一个点集，值域是实数的一个点集。

如果定义域的某个聚点 $x_0$ （不一定在定义域内）满足对于任意小的 $\varepsilon$ 都存在一个去心邻域使得其中定义域内的点 $x$ 都满足 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，就称 $x_0$ 处多元函数的极限为 $A$ 。从这个定义可以看出，我们要求当点列以任意方式逼近 $x$ 时极限都要是 $A$ 。为了与后面的累次极限区分，这个极限也称为重极限。

多元向量值函数是 $\R^n$ 到 $\R^m$ 的映射，本质上只是 $m$ 个多元函数而已。由于我们定义过空间点之间的度量，我们可以来衡量 $\R^m$ 中两个点的“距离”，因此极限的定义可以直接沿用。

累次极限

如果我们从一元的角度看多元函数的极限：先固定其他变量让第一个变量趋向极限点，得到一个 $n-1$ 元函数；然后固定其他变量让第二个变量趋向极限点……最终我们会得到一个极限值。这样得到的极限结果称为“累次极限”。

值得注意的是，累次极限与重极限的存在之间没有任何直接的关系。可以找到反例，比如二元函数中二重极限存在而二次极限不存在（ $x\sin\dfrac{1}{y}+y\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $(0,0)$ 处（在 $(0,0)$ 处补上0），可以做放缩 $|x|+|y|$ 所以二重极限存在且为0；而由于 $k\sin\dfrac{1}{x}$ 不收敛，累次极限不存在）；二次极限存在而二重极限不存在（ $\dfrac{x-y+x^2+y^2}{x+y}$ 在 $(0,0)$ 处，二重极限不存在，因为沿 $y=kx$ 逼近得到 $\dfrac{1-k}{1+k}$ ；二次极限存在，且先 $x$ 后 $y$ 的二次极限为-1，先 $y$ 后 $x$ 的极限为1。由此我们还看出，累次极限如果“累次”的顺序不同结果也可能不同）。

我们可以从多元函数的角度看，以二元函数为例：重极限是通过各种各样的路径来逼近的，而累次极限却只能以先横再竖或者先竖再横这样的方式来逼近。而重极限的邻域本身可以是奇怪形状的，因此重极限的存在并不能保证横平竖直的方式能够有意义，同时横平竖直的方式能存在不能保证所有路径的极限都是相同的。但如果，二次极限中第一次取极限对其附近的所有这个变量都是存在的，那么说明这条横线或者竖线它已经落入了二元函数可以取极限的范围，那么如果二重极限本身存在，那么这个二次极限就必须存在了。所以我们可以证明，如果二次极限（两个）和二重极限都存在，那么它们一定相等。

但我们要指出，用累次极限是无法描述清楚重极限的。我们之后还会多次碰到类似的情形，例如用偏导数无法描述全微分，重积分不一定能转化为累次积分。其核心都在于，用一元的角度描述多元是片面的。

多元函数的连续性

局部性质

多元函数的连续定义和一元函数是一模一样的，依然只是改变了距离的度量方式而已。如果定义域内的点 $x_0$ 满足任意 $\varepsilon$ 都存在 $\delta$ 使得 $|x-x_0|<\delta$ 使恒有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ ，就称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。否则就称间断。在多元函数中，间断点没有分类。（根据定义我们发现，孤立点一定是连续点）

在根据定义证明连续的时候，目标依然是把 $|f(x)-f(x_0)|$ 放缩成一个关于 $|x-x_0|$ 的函数。在二元情形下，即要把式子放缩成 $|x|+|y|$ 或 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的形式。

在多元函数中，局部有界性、局部保号性、四则运算与复合的连续等性质依然成立。

同样的，如果在集合 $D$ 内的每个点上都连续，就说它是 $D$ 上的连续函数。

整体性质

在一元时我们讨论过闭区间上连续函数的性质，以及连续函数具有介值性。在多元中，我们也可以找到这样的性质。前者称为紧性，后者称为连通性。

紧性

我们已经看到，紧就是有界闭。连续映射有这样的性：如果定义域是紧集，那么像集依然是紧集。证明思路有两个，一个是用收敛点列，一个是用开覆盖。（本质上都是紧性，我们证明过紧性等价于自列紧），这里采用点列的证明：先证闭集。对于任何一个值域中的收敛点列，我们证明其极限点也在值域中。这个点列可以对应会定义域中一列点，由于定义域有界，这列点一定有收敛子列，且极限点在定义域中。“连续映射”意味着函数的极限等于自变量极限的函数值，所以收敛子列的极限点的函数值就是值域中收敛点列的极限点，闭集得证。再证有界，如果函数无界，那么由于函数连续，值域中存在一个趋向无穷的点列，即某一项开始函数值可以任意大；而同样的这个点列对应回定义域中也有一个收敛子列，这就推出了这个趋向无穷的点列有收敛子列，这就与“趋向无穷”矛盾了。

既然值域是紧集，即有界闭集，那么函数的有界性和最值性就显然了。

另一个用到紧性的性质是Cantor定理：在紧集上连续的函数一定一致连续。（多元函数的一致连续依旧继承一元的定义。）它的证明和一元情形是一模一样的，只不过把实数间的距离变成了度量空间中的距离。和上面的定理一样，我们也有两种方法来证明这个定理。开覆盖的证明非常直观：由于函数连续，对于给定的 $\varepsilon$ 定义域上的每个点都有一个邻域，使得函数值与该点的差小于 $\varepsilon$ 。把所有的邻域收集起来就形成了开覆盖，而根据进行的定义这个开覆盖一定存在有限子覆盖，而有限个邻域一定有最小值，这样就证明了一致连续。

函数值的有界性、最值性和一致连续性都是连续函数在“满足特定要求的定义域”上被我们发现的性质，而这个性质就是“紧性”——紧性有两种理解，一种是有界闭集，一种是有限开覆盖。前者把紧性理解为有界闭集，因此用点列来证明；而后者把紧性理解为开覆盖，因此用到“拓扑”的证明。

连通性

在实数中，我们用“区间”来表达“连通”这一直观印象。在多元情形下，我们为了表达一个点集的连通性，可以这样定义：把一个实数闭区间（参数）到点集的连续映射称为曲线（或道路），那么如果一个点集任意两个点之间都存在道路，就称这个点集是（道路）连通集。连通开集称为开区域，其闭包称为闭区域。在一元中，区间一定是 $\R$ 中连通集， $\R$ 中的连通集一定是区间。

道路是连续映射，如果给这个映射复合上一个连续映射 $f$ ，依然能得到一个连续映射。因此，连通集 $D$ 的连续映射的像集 $f(D)$ 一定也是连通集。因此定义连通集上的多元连续函数，其像集是 $\R$ 中的连通集——区间，这就证明了多元连续函数的介值性。