11 重积分

面积，测度

我们在一元时已经建立了定积分的概念，并用“曲边梯形的面积”这一几何意义来理解它。我们知道定积分其实是Riemann和的极限，那么我们很容易自然地把它推广到多元函数——二元函数的积分应当表示“曲顶柱体的体积”等等。

我们在推广时遇到的第一个问题在于多元下的“划分”该如何定义。在给一元函数积分时，我们把自变量划分成小段的区间，那么二元函数就要把自变量划分成小块的面积，三元要划分成小体积……而“面积”这个概念事实上是还没有被定义的——尽管我们已经定义出“曲边梯形的面积”，但这种情况是很特殊的。曲边梯形终究依赖于一个Riemann可积的函数，因此这首先要求这个函数几乎处处连续。我们想更一般地定义“任何一个平面点集”的面积，以免在以后的讨论中碰到麻烦。（事实上，面积的定义是重积分的核心问题）

首先我们很容易接受把$\R^2$上的矩形$[a,b] \times [c,d]$的面积定义为$(b-a)(d-c)$。它就好像二维空间上的“区间”一样（更高维的情形也类似）。那么对于$\R^2$上的任何一个有界点集$D$（我们总是认为它是有界的，不然就不能讨论“面积”），我们可以找到一个足够大的矩形覆盖它。不断给这个大矩形增加横着的和竖着的划分，会形成一系列小矩形。把所有和$D$有交集的矩形面积加起来（被我们讨论的一定是有限个，因此做加法是完全没有问题的）记为$mA$，把所有被完全包含在点集内的小矩形之和（即矩形的所有点都属于集合$D$）的记为$mB$。随着划分的加细，$mA$不增，$mB$不减。如果当划分趋向无穷细的时候$mA=mB$，那这个值就称为$D$的面积，否则，就称$D$不可求面积。（划分趋向无穷细这一说法其实不严格，正确的表述是对于所有可能的划分取$mA$的下确界，$mB$的上确界）

用矩形来定义面积其实并不是最好的策略，因为它依赖于$\R^2$这样性质很好的背景。

通过这样的面积定义方式，我们可以看到一个“可求面积”的点集在无限加细以后，恰好覆盖在边界点上的所有矩形大小之和一定为0，否则$mA$就永远无法等于$mB$了。当然这是我们不太严格的直观理解，事实上有结论：点集可求面积当且仅当对于任何$\varepsilon>0$，都存在有限个矩形能覆盖$D$的所有边界点，且这些矩形的面积之和小于$\varepsilon$。我们称这样能被面积之和无穷小的有限个矩形覆盖的点集为“零面积集”，这是Jordan测度中的定义，与以往的Lebesgue测度不同，因为Lebesgue测度中是用“可数个”去覆盖而不是“有限个”，后者对应的是零测集。当我们说一个点集面积为0时，指的是Jordan测度为0。

存在这样的点集，Lebesgue测度为0，却不可求面积：例如$[0,1]\times[0,1]$中的有理点构成的点集， 由于有理数的稠密性每个点都是边界点，因此边界集面积不为0，根据定义不可求面积，但有理点的数量远小于无理点的数量，它的Lebesgue测度为0。

对于连续函数（显函数），在计算它形成的曲边梯形面积时，我们的分划有取上确界为$\xi$和下确界为$\xi$两种选点方式，这两种选点得到的面积之差就是一系列小矩形，他们恰好覆盖了这条连续函数。由于连续函数Riemann可积，这些小矩形面积之和一定为0，而对于$\forall \varepsilon>0$分划的个数一定是有限个，因此矩形也是有限个，所以我们证明了连续曲线是零面积的。由此可以推出，由有线条连续函数（显函数）所围成的区域一定是可求面积的。

更高维中的“面积”的定义方式与上述方式完全类似，我们称之为“$n$维空间中的测度”。

重积分

有了面积的定义，我们就可以仿照一元的定积分给出重积分的概念。积分就是分划+选点。对于给定的区域$D$（我们要求它是可求面积的），我们把它分为$n$个相互无交集的小区域$\Delta D_i$，并让这$n$个区域的并集恰好等于$D$，这就是一个分划。我们要求这种分划的选取可以是任意的，并不要求$\Delta D_i$是连通的，或者具有任何其他我们直观上赋予它的要求。为了像一元定积分一样体现出分划的无穷加细，我们要求所有区域中“最大的那个”趋向“无穷小”。但这里我们不能用面积来衡量区域大小，因为我们已经发现一个零面积有可能“占据了”相当大的一部分区域（例如连续曲线），我们用“直径”$\|\Delta\|$来衡量区域的大小，直径$\|\Delta\|$定义为点集中任意两点间距离（度量）的上确界。

以二元为例，在每个区域中任意选点，得到Riemann和$\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i$（$\Delta \sigma_i$表示$\Delta D_i$的面积）。那么重积分就定义为

$\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\lim\limits_{\|\Delta\| \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i$

这个定义也可以推广到多维。

可积的等价条件

仅凭重积分的定义方式是难以判断可积性的。但事实上定义重积分的时候我们只是在逐字逐句重复一元定积分的过程。因此，可积性的等价条件应当和一元完全相同！我们可以由选点的上确界和下确界定义出Darboux大和与Darboux小和，在加细过程中大和不增，小和不减，证明可积等价于大和的下确界等于小和的上确界。由此得到可积等价于对于任意分划振幅之和任意小，再把这个结论推广到对于任意$\varepsilon>0$只需要存在一个分划使得振幅之和任意小。最后得到多元情形下的Lebesgue准则：$f$可积当且仅当$f$的不连续点为Lebesgue零测集。

重积分的性质

重积分的性质也是和一元定积分一致的，证明也完全相同：

1. 线性性（积分是线性泛函）
2. “区间”可加性
3. 保号性（单调性）
4. 绝对可积性
5. 乘积可积性
6. 中值定理$\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta) \cdot mD$

重积分的计算

到目前为止，重积分的可积性理论和性质都与一元情形完全一致，并没有什么新的东西。而在重积分的计算上却没有这种一致性，原因在于我们对一元积分的计算依赖于Newton-Leibniz公式，而在重积分中却没有类似的公式。因此在计算重积分的时候（除了用定义直接计算的情况以外），必须想办法把它重新转化为一元的问题。

累次积分

二重积分的计算问题都可以还原到计算曲顶柱体的体积的问题。我们直觉可以接受（其实我们在一元的时候就已经不自觉地这么用了），可以先固定一个$x_0$，把$x_0$对应的“截面积”用一个新的函数$A(x_0)$表示，这个函数是关于$y$的一个一元定积分，然后我们再把$A(x)$关于$x$积分，也就是我们期待：

$\displaystyle\iint\limits_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)d\sigma=\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right]dx$

这里我们默认了积分区间是一个矩形。对于不是矩形的情况，我们可以把矩形补全，并给区间外的部分填上0。这样的填补可能产生新的不连续点，但显然这些不连续点只会出现在$D$的边界点上。由于$D$是可求面积的，边界点是Jordan零测集，因此也是Lebesgue零测集。所以补上这些0不会让积分变得不可积，也不会改变积分的值。

现在来证明这个期待是成立的。右式首先是关于$x$的一元定积分，把它换元为关于$x$的Riemann和，并对$y$的积分区间做拆分，得到$\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right]dx =\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\left[\sum\limits_{j=1}^{m}\displaystyle\int_{y_j}^{y_{j+1}}f(\xi_i,y)dy\right]\Delta x_i$。利用积分中值定理，在每个定积分中分别给$y$取$f$在区间中的上确界和下确界，得$\sum\limits_{j=1}^{m}\inf f(\xi_i,y) \Delta y_j \leq \sum\limits_{j=1}^{m}\displaystyle\int_{y_j}^{y_{j+1}}f(\xi_i,y)dy \leq \sum\limits_{j=1}^{m}\sup f(\xi_i,y) \Delta y_j$。代回原式后对$x$也用上确界和下确界放缩，得到$\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\inf f(x,y) \Delta x_i\Delta y_j \leq \displaystyle\int_{a}^{b}\left[\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right]dx \leq \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sup f(x,y) \Delta x_i\Delta y_j$。左边是Darboux小和，右边是Darboux大和，因此根据夹逼定理它必须等于重积分。

这个过程称为“化二重积分为二次积分”。容易发现，交换$x$和$y$的顺序这个过程也依然成立，我们可以依据计算的方便程度来选择。

尽管我们在计算重积分的时候总是先尝试化作累次积分，依据结果来判断这样的转换是否是“可能的”，但必须指出二重积分和二次积分的存在性之间并不能互相保证。Riemann函数的反例告诉我们二重积分存在并不意味着二次积分存在，而二元的Dirichlet函数却告诉我们二次积分存在并不意味着二重积分存在。但一般而言，尤其是对于性质比较好的函数，如果我们能够分别验证二重积分存在和二次积分存在（每一个定积分都存在），那么做上面这样的转化总是可行的。

这个结论可以推广到高维，只要函数连续，我们就可以把它拆成$n$次积分分别求解。

变量替换

对于要求积分的二元函数$f(x,y)$，如果我们做替换$x=x(u,v),y=y(u,v)$后用$u,v$来表示函数$f$，该如何求二重积分呢？从更高维的角度来叙述，如果做映射$\varphi:\R^n \to \R^n$使得$x=\varphi(t)$，那么该如何找到函数$\psi$使得$\displaystyle\int\limits_{D_x}f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{D_t}\psi(t)dt$？

我们回忆一元中定积分的变量替换的原理：$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$的Riemann和为$\sum f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)$，对所有自变量做替换后Riemann变为$\sum f(\varphi(\tau_i))(\varphi(t_{i+1})-\varphi(t_i))$，根据微分中值定理得到$\varphi(t_{i+1})-\varphi(t_i)=\varphi'(\eta_i)(t_{i+1}-t_{i})$，代入就能看到积分的形式应当为$\displaystyle\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$，其中$\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b$。我们可以用完全相同的方式来用Riemann和拆分多重积分$\displaystyle\int\limits_{D_x}f(x)dx$写成Riemann和的形式就是$\sum f(\xi_i)m(D_i)$，我们在这里做变量替换以后得到$\sum f(\varphi(t_i))m(D_i')$。问题的关键是，如何找到$m(D_i)$和$m(D_i')$之间的关系？假设映射是从$(t_1,\cdots,t_n) \to (x_1,\cdots,x_n)$，那么$m(D_i') = \Delta t_1\cdots\Delta t_n$，$m(D_i)$为对应的单变量$t_1,\cdots,t_n$分别独自变化导致的“函数值（点）”的变化向量构成的体积，其中第$i$个向量就是$\varphi(t+\Delta t_i)-\varphi(t)$，它的每一维都可以用多元函数的微分中值定理表示为$\dfrac{\partial \varphi^i}{\partial t_i} \Delta t_i$。当变化量足够小的时候，我们可以用这个“平行多面体”的体积近似得代替$m(D_i')$，而$n$个向量围成的平行多面体的体积就是行列式——这是我们定义行列式的初衷。这个行列式就是

$\begin{vmatrix}\dfrac{\partial \varphi^1}{\partial t_1}\Delta t_1 & \dfrac{\partial \varphi^1}{\partial t_2}\Delta t_2 &\cdots& \dfrac{\partial \varphi^1}{\partial t_n}\Delta t_n\\\dfrac{\partial \varphi^2}{\partial t_1}\Delta t_1 & \dfrac{\partial \varphi^2}{\partial t_2}\Delta t_2 &\cdots& \dfrac{\partial \varphi^2}{\partial t_n}\Delta t_n\\\vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\ \dfrac{\partial \varphi^n}{\partial t_1}\Delta t_1 & \dfrac{\partial \varphi^n}{\partial t_2}\Delta t_2 &\cdots& \dfrac{\partial \varphi^n}{\partial t_n}\Delta t_n\end{vmatrix}$

根据行列式的性质可以把所有$\Delta t_i$提出外面，刚好形成$m(D_i)$，而留下的矩阵恰好是$\varphi$关于$t$的Jacobi矩阵，可以记为$\det(\varphi'(t))$，于是我们就有了重积分的变量替换公式：

$\displaystyle\int\limits_{D_x}f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{D_t}f(\varphi(t))\det(\varphi'(t))dt$

它在形式上与一元定积分保持相同。

必须指出的是，以上只是我们对替换公式的“直观理解”，它是不严格的。在用“平行多面体”代替“曲边多面体”时，我们无法证明这样做是正确的。真正严格的做法是，先对一类特殊的变换严格地验证上式成立（称为本原映射，它在映射时保持一些自变量前后映射同一个值），然后证明对于非常小的邻域，任何一个变换都可以写作本原映射的复合，最后我们再对整个大区域用这些小邻域来划分。其核心思想就是局部固定与一元的微分中值定理。

极坐标代换

在求二重积分时，可以用极坐标$r,\theta$来代换$x,y$，代换的函数为$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$。根据变元替换，$\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)dxdy=\displaystyle\iint\limits_D f(r\cos\theta,r\sin\theta)\det(\varphi'(t))drd\theta$，其中$\det(\varphi'(t))=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\\sin\theta & r\cos\theta\end{vmatrix}=r$。

也就是说，极坐标代换之后被积函数要乘上$r$。我们可以用几何图像来理解：当$x,y$变化$\Delta x,\Delta y$时，产生面积$\Delta x\Delta y$。而$r,\theta$变化$\Delta r,\Delta \theta$的时候，产生的是一块扇形圆环的面积$\dfrac{1}{2}(r+\Delta r)^2\Delta \theta-\dfrac{1}{2}r^2\Delta \theta \approx r\Delta r\Delta \theta$。因此用极坐标来计算面积微元的时候，除了让自变量的变化量相乘以外还需要乘上$r$。

球坐标代换

在三维空间中也有类似“极坐标”的描述方式，我们首先需要一个角度$\varphi$来描述向量与$z$轴的夹角，这样$z$坐标就被描述清楚了，接下来问题就转化为了$xy$平面上投影的极坐标表示问题，我们采取和极坐标一样的方法，用角度$\theta$就可以了。但要注意的是，$\varphi$的取值范围是$[0,\pi]$，因为它描述与坐标轴的夹角，而$\theta$的取值范围是$[0,2\pi)$，因为它描述单位圆的角度。可以计算得到三维球坐标代换以后产生的Jacobi行列式的值为$r^2\sin \varphi$。

球坐标可以推广到$n$维，其中我们要用到$n-1$个角度，前$n-2$个都用来做投影，最后一个是单位圆。

反常重积分（广义重积分）

和一元情形类似，我们在普通的Riemann积分中规定了积分区域有界，被积函数有界这两个限制。如果放松这两条限制，就属于广义积分的范畴了。

首先以二维情形为例讨论“积分区域无界”的广义重积分。在一元时，我们通过令积分上界（下界）趋向无穷时取极限来定义积分区域无穷的广义积分。在高维下我们无法让区域趋向无穷，为了类似地描述这一过程，定义“穷竭列”的概念：设一个无界积分区域为$D$，在$D$内取一系列有界闭集套$D_1 \subset D_2 \subset \cdots \subset D_n \subset \cdots \subset D$，并且对于积分区域内的任何一个有界闭集$F$都能被包含于某个$D_m$中（因此也被包含于所有的$D_{m+1},D_{m+2}\cdots$中。（每个$D_i$都必须是可求面积的。）这个$\{D_n\}$就被称为穷竭列。穷竭列的取法是多样的，比如让$D$依次与$x^2+y^2 \leq n^2$取交集等等。

那么我们就定义$D$上的广义积分为$\lim\limits_{n \to \infty}\displaystyle\iint\limits_{D_n} f(x,y)dxdy$。如果这个极限对于任何穷竭列都存在且相等，就称广义积分收敛，否则称广义积分发散。通过穷竭列，我们把广义积分转化为了数列的极限。

先来考虑函数值非负的情况。广义积分的敛散性等价于穷竭列对应的正项级数的敛散性。因此非负情形的广义重积分收敛当且仅当在任意穷竭列的选取下始终有$\displaystyle\iint\limits_{D_n} f(x,y)dxdy$有界。这是基于定义得出的判别法，其中对“穷竭列的任意性”的要求就决定了这不能称为一个好的判别法。下面我们证明，只要存在一个穷竭列使得$\displaystyle\iint\limits_{D_n} f(x,y)dxdy$有界恒成立，就可以判定收敛：我们考虑其他任意的一个除了给定的$D_n$外的穷竭列$G_n$。$\forall G_m$都是$D$中的一个有界闭集，因此一定存在一个$D_k$使得$G_m \subseteq D_k$，而$\displaystyle\iint\limits_{D_k} f(x,y)dxdy$是有界的，因此$\displaystyle\iint\limits_{G_m} f(x,y)dxdy$也被迫有界。因此我们证明了对于任意的$G_n$该积分也是有界的。其次我们还要证明这两个数列的极限是相等的，这样才能完整的说明广义积分收敛：设$\lim\limits_{n\to \infty}\displaystyle\iint\limits_{D_n} f(x,y)dxdy=I$，$\lim\limits_{n\to \infty}\displaystyle\iint\limits_{G_n} f(x,y)dxdy=J$。每个$D_m$都可以找到一个$G_k$使得$D_m \subseteq G_k$，根据单调性$\displaystyle\iint\limits_{D_m} f(x,y)dxdy \leq \displaystyle\iint\limits_{G_k} f(x,y)dxdy \leq J$，由此得到$I\leq J$。反之，每个$G_m$都可以找到一个$D_k$使得$G_m \subseteq D_k$，所以$\displaystyle\iint\limits_{G_m} f(x,y)dxdy \leq \displaystyle\iint\limits_{D_k} f(x,y)dxdy \leq I$，得到$J \leq I$。所以必须有$I=J$。这样我们就证明了非负函数的广义重积分收敛等价于存在一个穷竭列上积分始终有界。

对于不是“非负”的一般函数，下面的定理说明，它的广义重积分收敛等价于绝对收敛。也就是说，对于广义重积分，我们根本不需要处理负数的情况，任何函数的广义重积分与它的绝对值函数的积分的敛散性永远是相同的。这和一元情形产生了分歧！我们先来验证它的正确性：要证明$\displaystyle\iint\limits_{D} f(x,y)dxdy$收敛当且仅当$\displaystyle\iint\limits_{D} |f(x,y)|dxdy$收敛。右推左是我们在一元反常积分和无穷级数时处理过的，把函数拆分为正部$f_+$和负部$f_-$，左边不带绝对值的式子就等于正部的积分减去负部的积分，右边带绝对值的式子等于正部的积分加负部的积分。已知右式收敛，那么正部和负部不可能都发散，也不可能只有其中一个发散，因此正部和负部都必须收敛，所以就能推出正部减负部也是收敛的了；关键在于左推右，我们证明逆否命题——如果$\displaystyle\iint\limits_{D} |f(x,y)|dxdy$发散，那么$f_+$和$f_-$中至少有一个是发散的，不然$|f|$就收敛了。那么不妨假定$f_+$是发散的那个。我们取一个趋向正无穷的数列作为参照，比如说$n$。对于穷竭列的每一项，我们取很大一部分$f_+$，再补一部分的$f_-$，使得得到的和$f$每次都恰好能够大过$n$，这样就能推出$f$发散，从而证明我们的结论。为了严格地说明这件事，我们这样操作：$f_+$的积分发散，那么它的值会趋向正无穷，对于任何值我们都可以找到一个足够大的$D_{n+1}$来让$f_+$的积分任意大，那么我们总可以取出一个穷竭列$D_n$使得$\displaystyle\iint\limits_{D_{n+1}} f_+(x,y)dxdy>2\displaystyle\iint\limits_{D_n} |f(x,y)|dxdy+n$，给等式左边减去$\displaystyle\iint\limits_{D_{n}} f_+(x,y)dxdy$得到$\displaystyle\iint\limits_{D_{n+1} \setminus D_n} f_+(x,y)dxdy$，右边减去一个更大的$\displaystyle\iint\limits_{D_{n}} |f(x,y)|dxdy$，这样就得到了不等关系$\displaystyle\iint\limits_{D_{n+1} \setminus D_n} f_+(x,y)dxdy>\displaystyle\iint\limits_{D_n} |f(x,y)|dxdy+n$。由于$D_{n+1} \setminus D_n$中只有那些函数值为正的区域$\Delta _n$产生了贡献，所以我们直接写作（这一步是不严谨的，严谨的写法是取分划的下确界）$\displaystyle\iint\limits_{\Delta_n^+} f(x,y)dxdy>\displaystyle\iint\limits_{D_n} |f(x,y)|dxdy+n$。即$\displaystyle\iint\limits_{\Delta_n^+} f_+(x,y)dxdy-\displaystyle\iint\limits_{D_n} |f(x,y)|dxdy > n$。把$D_n \cup \Delta _n^+$看作一个新的集合，记作$G_n = \overline{D_n \cup \Delta _n^+}$（为了保证它是闭集取一个闭包），那么$G_n$被夹在$D_n$和$D_{n+1}$之间，因此也是一个穷竭列！而$\displaystyle\iint\limits_{G_n} f(x,y)dxdy=\displaystyle\iint\limits_{G_n} f_+(x,y)dxdy$ $-\displaystyle\iint\limits_{G_n} f_-(x,y)dxdy$，而显然$\displaystyle\iint\limits_{G_n} f_+(x,y)dxdy \geq \displaystyle\iint\limits_{\Delta_n^+} f_+(x,y)dxdy$，$\displaystyle\iint\limits_{G_n} f_-(x,y)dxdy= \displaystyle\iint\limits_{D_n} f_-(x,y)dxdy\leq \displaystyle\iint\limits_{D_n} |f(x,y)|dxdy$，因此$\displaystyle\iint\limits_{G_n} f(x,y)dxdy\geq \displaystyle\iint\limits_{\Delta_n^+} f_+(x,y)dxdy-\displaystyle\iint\limits_{D_n} |f(x,y)|dxdy>n$，发散。

所以我们看到了，在广义重积分的定义下没有“绝对收敛”和“条件收敛”之分，如果积分收敛那它必定绝对收敛。这一定意味着我们在广义重积分的定义方式上与一元情形有所不同，不然不可能得到相反的结论。这依然是“高维空间缺少序结构”产生的结果，广义重积分被要求用任何方式选取的穷竭列都必须有相同的极限值。如果在定义一元的广义积分的时候也仿照“穷竭列的方式”而不是“数列的极限”的方式来定义，那么也会得到收敛等价于绝对收敛的结论。

对于函数无界的，我们也用同样的“穷竭列”来逼近奇点，然后把广义重积分定义为这个穷竭列上重积分的极限，要求任意选取的穷竭列都要有相同的极限值。它在定义上和积分区域无界的情况是一模一样的。

广义重积分的计算

重积分的换元法以及累次积分法在广义情形下都是成立的。有了广义重积分，我们可以计算一些一元下无法计算的积分。通过化重积分为累次积分，我们得到$\displaystyle\iint\limits_{R^2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy=\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\right)^2$，而又可以由极坐标变换得到这个积分的结果就是$\pi$，由此计算出$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$。这称为Poisson积分。