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02 极限与连续

DennyQi · January 23, 2026 · 32 min read

数列极限

我们可以用严格地数学语言描述当数列的下标越来越大时数列的值越来越逼近某个实数：如果成立∃A∈R\exists A \in \R，∀ε>0\forall \varepsilon>0，∃N\exists N使得∀n>N\forall n>N成立∣an−A∣<ε|a_n-A|<\varepsilon，则称数列ana_n的极限是AA，或ana_n收敛于AA。否则，称ana_n发散。发散不同于极限趋向无穷，趋向无穷要求能使得∀n>N\forall n>N成立∣an∣|a_n|大于任意给定的GG。

根据定义可以证明收敛数列极限是唯一的，因为如果有两个不同的极限，那么下标大到一定程度数列的值不可能同时和两个不同的数之间相差任意小。

收敛数列是有界的，因为当下标充分大的时候数列就不能超过AA加减一个可以任意小的ε\varepsilon了。

数列极限有保号性。如果极限是一个正数，那么下标充分大的时候数列就必须在这个正数附近，因此这些值都会是正的。这就是“保持符号”的性质。

极限满足四则运算法则，两个数列的和的极限等于两个数列极限的和，两个数列的乘积的极限等于两个数列极限的乘积，两个数列的商的极限等于两个数列极限的商。当然，前提都是这两个数列的极限存在。

数列的极限满足夹逼性。这是很重要的性质。如果an≤bn≤cna_n \leq b_n \leq c_n，并且我们求出lim⁡an=lim⁡cn=A\lim a_n=\lim c_n = A，那么一定有lim⁡bn=A\lim b_n =A。因为比这个数列大的和小的数列在下标充分大的时候都会逼近AA，因此这个被夹在中间的数列也不得不逼近这个值。

收敛数列的每个子列都收敛，且收敛于同一极限。这是显然的。

收敛数列的前缀和∑i=1nan\sum\limits_{i=1}^{n}a_n不一定收敛。调和级数就是反例。

求解数列极限

Cauchy命题

若lim⁡n→∞an=A\lim\limits_{n \to \infty}a_n=A，则lim⁡n→∞a1+a2+⋯+ann=A\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=A，AA为实数或定号的无穷大。

注意不能反推，有这样的反例：xn=(−1)nx_n=(-1)^n，yn=ny_n=n。

直观来看，当nn充分大的时候前面的项都可以忽略不计。严格来看，我们把它分成两部分：a1+a2+⋯+aNn+aN+1+⋯+ann\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_N}{n}+\dfrac{a_{N+1}+\cdots+a_n}{n}，设lim⁡n→∞an=A\lim\limits_{n \to \infty}a_n=A，即证：

lim⁡n→∞(a1−A)+(a2−A)+⋯+(aN−A)n+lim⁡n→∞(aN+1−A)+⋯+(an−A)n=0\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{(a_1-A)+(a_2-A)+\cdots+(a_N-A)}{n}+\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{(a_{N+1}-A)+\cdots+(a_n-A)}{n}=0

前半部分是有限的，整个直接趋向0；后半部分每个an−Aa_n-A都小于ε\varepsilon，总体肯定小于ε\varepsilon。

令an=ln⁡bna_n=\ln b_n，就得到lim⁡n→∞ln⁡b1+ln⁡b2+⋯+ln⁡bnn=lim⁡n→∞ln⁡bn\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\ln b_1+\ln b_2+\cdots+\ln b_n}{n}=\lim\limits_{n \to \infty}\ln b_n，化简得到：

lim⁡n→∞b1b2⋯bnn=lim⁡n→∞bn\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{b_1b_2\cdots b_ n}=\lim\limits_{n \to \infty}b_n

Stolz定理

Stolz定理可以看成是离散的L' Hospital法则。Cauchy命题是Stolz定理的特殊情形。

∗∞\dfrac{*}{\infty}型

设yny_n严格递增且趋向正无穷，则可以由lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1=a\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a推出lim⁡n→∞xnyn=a\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n}=a，其中aa为实数或定号的无穷大。

注意不能反推（Cauchy命题的反例）

当aa为实数时，令xn′=xn−aynx_n'=x_n-ay_n，则条件可以看作lim⁡n→∞xn′−xn−1′yn−yn−1=0\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n'-x'_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=0，要证lim⁡n→∞xn′yn=0\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{x_n'}{y_n}=0。我们采用和Cauchy命题类似的证明思路，固定一个NN使得n>Nn>N都有∣xn′−xn−1′∣<ε(yn−yn−1)|x'_n-x'_{n-1}|<\varepsilon(y_n-y_{n-1})。累加可得∣xn′−xN+1′∣<ε(yn−yN+1)|x'_n-x'_{N+1}|<\varepsilon(y_n-y_{N+1})。除以yny_n得到∣xn′yn−xN+1′yn∣<(1−yN+1yn)ε<ε\left|\dfrac{x_n'}{y_n}-\dfrac{x'_{N+1}}{y_n}\right|<(1-\dfrac{y_{N+1}}{y_n})\varepsilon<\varepsilon。当nn充分大时就得到了想要的结论。如果aa是正无穷，那xnx_n从某项开始也一定递增趋向正无穷，取个倒数就变成了刚才证过的a=0a=0的情形。负无穷取个负号，同理。

00\dfrac{0}{0}型

设yny_n严格递增且趋向0，xnx_n趋向0（但不要求严格递减）则可以由lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1=a\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a推出lim⁡n→∞xnyn=a\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n}=a，其中aa为实数或定号的无穷大。

同样不能反推，有反例：xn=(−1)n1n2x_n=(-1)^n\dfrac{1}{n^2}，yn=1ny_n=\dfrac{1}{n}。

当aa为实数时，同样令xn′=xn−aynx_n'=x_n-ay_n，把条件看作lim⁡n→∞xn′−xn−1′yn−yn−1=0\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n'-x'_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=0，要证lim⁡n→∞xn′yn=0\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{x_n'}{y_n}=0。固定一个NN使得n>Nn>N都有∣xn′−xn−1′∣<−ε(yn−yn−1)|x'_n-x'_{n-1}|<-\varepsilon(y_n-y_{n-1})。累加可得∣xn′−xN+1′∣<−ε(yn−yN+1)|x'_n-x'_{N+1}|<-\varepsilon(y_n-y_{N+1})。两边同时让nn趋向无穷，得到∣xN+1′∣≤εyN+1|x'_{N+1}| \leq \varepsilon y_{N+1}。于是对于对于 ∀n>N\forall n>N都有∣xn′yn∣≤ε\left|\dfrac{x'_{n}}{y_{n}} \right|\leq \varepsilon。如果aa是正无穷，那xnx_n严格递减趋向0，取个倒数就变成了刚才证过的a=0a=0的情形。负无穷同理。

函数极限

函数在某点处可能没有被定义，但是如果函数在这个点附近都有定义，并且在靠近这个点时显示出接近于某个确定的值的现象，我们想知道是否有一种严谨的语言能描述这种现象。这就是函数极限的概念，它被柯西用ε−δ\varepsilon-\delta语言严谨地描述。

有了描述这种直观现象的严谨数学语言就可以推出函数极限的“性质”，这些性质是被这种描述方式决定的。它与数列极限的性质几乎完全相同：首先，函数极限是唯一的，如果不唯一就会与无限趋近某个实数矛盾；函数极限是局部保序的，如果两个函数在同一点趋向不同的值，即极限值有大小关系，那么在这个邻域上的所有函数值也会保持这种大小关系，这也是极限语言中无限趋近的体现；函数极限点的邻域内函数值是有界的。函数极限满足夹逼性，满足四则运算法则。

我们可以用数列极限来描述函数极限。Heine定理告诉我们，在自变量趋向x0x_0时函数有极限AA，可以等价于任意极限为x0x_0的数列对应的“函数数列”极限都是AA。二者等价，可以互推。函数推数列是容易的，数列推函数要用反证法：如果在函数极限过程中总有点跳出去，那我们在自变量趋向x0x_0的过程中不断取这个跳出来的点构造一个数列，这个数列就不收敛于AA。正是定理的条件要求“任意”才使得这种等价成立，“任意”实际上保证了x0x_0的邻域内的每个函数值在限制范围内。因此，想说明函数不收敛于AA，只需要找一个数列作为反例。

函数极限也可以发生在自变量趋向无穷时，虽然描述这种趋向无穷的语言和趋向某一点的语言不太相同。但事实上，趋向某点时函数极限的性质统统也能够作为趋向无穷时的极限性质。某种意义上，我们全都可以通过数列极限来描述函数极限，函数极限的这些性质某种意义上都是数列极限性质的体现。

趋向无穷与趋向某点的极限是可以统一为“基上的极限”。这是基于趋向无穷与趋向某点过程中我们对自变量范围的要求有共同点：去心邻域与无穷区间都有一个特点，它们被层层套住，任意两个的交集还是一个去心邻域或者无穷区间。在证明时我们只用到了这种“套”的性质，所以推出了同样的极限性质。

函数极限也相应有柯西收敛原理，它描述了：函数收敛等价于在邻域上的最大摆动幅度收敛。其中由函数收敛推摆动幅度收敛只需要用到极限的语言，而在由摆动幅度收敛推函数极限本质上用到了函数极限的“数列性”：用Heine定理说明任意趋向极限点的数列由于摆动幅度收敛因此函数值收敛。

连续函数

现在我们开始研究一个称为“连续”的概念。其实更本质的，我们是在研究当自变量发生微小变化的时候函数值如何变化。从某种意义上，连续的概念来自于几何直观——连续就是不间断。如果自变量的变化趋向0时，函数值的变化也趋向0，那么函数在这个点上就是“连续”的。

由此，我们可以严格定义连续性：函数在某点连续要求，在这点有定义，在这点的邻域有定义，这点处的极限等于这点的函数值。一个在区间上连续的函数就是区间内的任意一点都连续的函数。对于闭区间，只要求端点处单侧连续。

我们根据左右极限的情况将间断点分三类，这三类的讨论是完全的，没有遗漏任何一种情况，因为它完全讨论了两侧极限的存在性与相等性：第一类左右极限都存在但不相等，又称跳跃间断点；第二类左右极限中至少有一个不存在；第三类左右极限都存在而且相等，但是极限不等于函数值或者函数在该点无定义，这种间断点很容易“补上”，称为可去间断点。

区间上的单调函数（整个开区间都有定义）的不连续点一定是第一类间断点，而且间断点至多可数个。可以证明单调递增函数在任意一点处的左极限小于等于右极限：把所有自变量小于x0x_0对应的函数值放进一个集合，这个集合一定有上确界，f(x0)f(x_0)一定大于等于这个上确界，然后用定义证明这个上确界就是左极限；同样的右边的下确界就是右极限。而每个间断点都可以在值域的区间里取一个有理数，因此间断点可以和\Q\Q的某个子集双射，因此间断点个数可数。

在闭区间上连续并严格单调递增（递减）的函数有反函数，反函数也连续且严格单调递增（递减）。证明用连续的定义。

由于函数极限是定义在去心邻域上的，因此在复合函数的时候就容易出问题。“趋近”是有很多种方式的，如果函数在“趋近”的时候会到达“心”，就可能导致外层函数极限不存在。但要是函数连续就没有问题。对于连续函数，lim记号可以移进函数里面，证明用定义。

有这样一个函数（Riemann函数），当xx是无理数时f(x)=0f(x)=0，当xx是有理数pq\dfrac{p}{q}时f(x)=1qf(x)=\dfrac{1}{q}（需要保证p,qp,q互质并且q>0q>0），特别地f(0)=1f(0)=1。我们可以证明它在任何一点处的极限都是0，也即它在无理点处是处处连续的：我们容易发现这是一个周期函数，因此我们只需对[0,1][0,1]给出证明。对于给定的ε\varepsilon，只有那些qq比较小的点才会使函数值大于ε\varepsilon，这样的点的个数是可以用ε\varepsilon表示出来的，因此是有限的。正因为有限，我们可以取到一个足够小的邻域，这个邻域内函数值都小于ε\varepsilon，这就证明了任意点的极限都是0。这个例子其实我们，对于函数的极限实际上我们关心的是“邻域上的变化趋势”，一个看似离散的点的分布却刚好满足这种连续的趋势。这和Dirichlet函数不一样，Dirichlet函数在0,10,1之间反复横跳，不满足连续的趋势。

闭区间上的连续函数

有界性定理。如果函数在闭区间上的连续，那么在这个闭区间上有界。反证法，如果无界，那么把区间二等分，至少有一个区间无界。不断重复二等分的过程，得到一个闭区间套。当等分次数足够大时，这个区间套可以包含在ξ\xi的任何一个邻域里，而由于连续以及函数极限的局部有界性得到存在一个ξ\xi的邻域函数值有界，发生矛盾。

最值定理。如果函数在闭区间上的连续，那么在这个闭区间上函数能取到最大值和最小值。首先函数的值域是有界的，因此存在上确界（下确界同理）。根据确界的定义，在上确界与比上确界小一点的数之间肯定有函数值存在。用1/n的方式不断紧缩这个“一点”，得到一个函数数列。由于有界，这个数列必有收敛子列。根据夹逼与连续性，我们得到这个子列收敛时的自变量也收敛，这个收敛点就是最大值点。

零点存在定理。如果函数在闭区间[a,b][a,b]上连续，f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0，那么一定存在ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)使得f(ξ)=0f(\xi) =0。取所有函数值小于0的自变量集合VV，VV有一个上确界。我们证明这个上确界就是ξ\xi。首先，因为函数值在端点处分别大于0小于0，由于函数连续，肯定有一小段邻域他们保号，所以ξ\xi的确落在开区间内。其次，我们在VV中取出一个逼近上确界ξ\xi的数列，这个数列对应的函数值的极限一定小于等于0。我们证明这个极限小于0是不可能的，因为如果小于0就一定可以继续取一小段邻域使得函数值保号（依然小于0），这就与“确界”矛盾了。

介值定理。闭区间上的连续函数能取到最大值与最小值之间的任何一个值。随便规定一个值，我们把这个值平移到0的高度，用一下零点存在定理就好了。这也其实我们，闭区间上的连续函数的值域就是最小值到最大值构成的整个闭区间。

一致连续

如果两点的函数值之差小于ε\varepsilon只要求自变量之差小于某个只依赖于ε\varepsilon而不依赖于自变量具体位置的定值δ\delta，就称函数一致连续。直觉上看，这个函数图像上没有绝对陡峭的坡度（这只是简单理解，x\sqrt{x}在x=0x=0处也是一致连续的）

一致连续也可以用数列来等价地描述：取两个自变量的数列，如果这两个数列逼近同一个值，那么它们的函数值也必须逼近同一个值。

连续函数如果在闭区间上连续，那么就在这个闭区间上一致连续。如果在(a,b)(a,b)上连续，那么当且仅当f(a+)f(a+)与f(b−)f(b-)存在时它在(a,b)(a,b)上一致连续。

重要命题与思想

若满足下列两条件之一:
(i) f(u)f(u) 在 u0u_{0} 连续, lim⁡x→x0g(x)=u0\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=u_{0},
(ii) lim⁡u→u0f(u)=A,lim⁡x→x0g(x)=u0\lim\limits _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=A, \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=u_{0} , 但在 x0x_{0} 的某个邻域(x0−δ,x0+δ) \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) 内, 当 x≠x0x \neq x_{0} 时 g(x)≠u0g(x) \neq u_{0}

那么lim⁡x→x0f[g(x)]=lim⁡u→u0f(u)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f[g(x)]=\lim \limits_{u \rightarrow u_{0}} f(u)

自然对数

我们研究数列(1+1n)n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n。

数列an=(1+1n)na_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n是严格递增的，有均值不等式1⋅(1+1n)n<[1+n(1+1n)n+1]n+1=(1+1n+1)n+11 \cdot \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n < \left[\dfrac{1+n(1+\dfrac{1}{n})}{n+1}\right]^{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}。

构造数列an′=(1+1n)n+1a'_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}是严格递减的，对它的倒数有均值不等式1⋅(nn+1)n+1<[1+(n+1)nn+1n+2]n+2=(n+1n+2)n+21 \cdot \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n+1} < \left[\dfrac{1+(n+1)\dfrac{n}{n+1}}{n+2}\right]^{n+2}=\left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}。

所以an<an′<a1′=4a_n<a'_n<a'_1=4。根据单调有界必收敛，ana_n有极限。这个极限就是ee。可以证明ee是无理数。

lim⁡n→∞(1+1n+p)n+q=e\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n+p}\right)^{n+q}=e

lim⁡n→∞(1−1n)n=lim⁡n→∞(n−1n)n=lim⁡n→∞(nn+1)n+1=1e\lim\limits_{n \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n}=\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^{n}=\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\dfrac{1}{e}

lim⁡n→∞(1−1n+p)n+q=1e\lim\limits_{n \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{n+p}\right)^{n+q}=\dfrac{1}{e}

(1+1n)n<e\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<e恒成立

由(1+1n)n<e<(1+1n)n+1\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<e< \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}，取对数得

1n+1<ln⁡(1+1n)<1n\dfrac{1}{n+1} < \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)<\dfrac{1}{n}

对于数列bn=1+12+13+⋯+1n−ln⁡nb_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln n，bn>ln⁡21+ln⁡32+ln⁡43⋯+ln⁡n+1n−ln⁡n=ln⁡(n+1)−ln⁡n>0b_n>\ln \dfrac{2}{1}+\ln \dfrac{3}{2}+\ln \dfrac{4}{3}\cdots+\ln \dfrac{n+1}{n}-\ln n=\ln(n+1)-\ln n>0，而bn+1−bn=1n+1−ln⁡(n+1)+ln⁡n=1n+1−ln⁡(1+1n)<0b_{n+1}-b_n=\dfrac{1}{n+1}-\ln (n+1)+\ln n=\dfrac{1}{n+1}-\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)<0，根据单调有界必收敛，可知bnb_n收敛，它的极限称为欧拉常数γ=0.577⋯\gamma=0.577\cdots。

lim⁡x→+∞(1+1x)x=e\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e 及其推论：

趋向负无穷：lim⁡x→−∞(1+1x)x=lim⁡y→+∞(1−1y)−y=lim⁡y→+∞(y−1y)−y=lim⁡y→+∞(yy−1)y\lim\limits_{x \to -\infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{y}\right)^{-y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(\dfrac{y-1}{y}\right)^{-y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(\dfrac{y}{y-1}\right)^{y}

=lim⁡y→+∞(y−1+1y−1)y=lim⁡y→+∞(1+1y−1)y=lim⁡y→+∞(1+1y−1)y−1(1+1y−1)=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(\dfrac{y-1+1}{y-1}\right)^{y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)^{y}=\lim\limits_{y \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)^{y-1}\left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)

=e=e

变成减号：lim⁡x→+∞(1−1x)x=1lim⁡x→+∞(1−1x)−x=1lim⁡y→−∞(1+1y)y=1e\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{x}\right)^x=\dfrac{1}{\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{-x}}=\dfrac{1}{\lim\limits_{y \to -\infty} \left(1+\dfrac{1}{y}\right)^{y}}=\dfrac{1}{e}

取倒数换元，变成趋向0：lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim\limits_{x \to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e

取对数：lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1

换元y=ln⁡(1+x)y=\ln(1+x)：lim⁡y→0yey−1=1\lim\limits_{y \to 0}\dfrac{y}{e^y-1}=1

lim⁡x→0(1+x)α−1x=lim⁡x→0eαln⁡(1+x)−1x=lim⁡x→0eαln⁡(1+x)−1αln⁡(1+x)αln⁡(1+x)x=α\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{\alpha \ln(1+x)}\dfrac{\alpha \ln(1+x)}{x}=\alpha

∣x1−x2∣≥∣x1−x2∣\sqrt{|x_1-x_2|} \geq |\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|：

等价于∣x1−x2∣>∣x1+x2−2x1x2∣|x_1-x_2| > |x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}|

等价于x12+x22−2x1x2>x12+x22+2x1x2+4x1x2−4(x1+x2)x1x2x_1^2+x_2^2-2x_1x_2 > x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+4x_1x_2-4(x_1+x_2)\sqrt{x_1x_2}

等价于4(x1+x2)x1x2>8x1x24(x_1+x_2)\sqrt{x_1x_2} >8x_1x_2

等价于(x1+x2)>2x1x2(x_1+x_2) >2\sqrt{x_1x_2}