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01 实数系

DennyQi · January 23, 2026 · 28 min read

从自然数到实数

自然数

在人们对数的探索历程中，最早发现的数系是自然数0,1,2,3,⋯0,1,2,3,\cdots。现代数学中，我们可以通过逻辑以及公理集合论清楚的定义什么是“自然数”（比如经典的定义是：自然数是最小归纳集），因此在分析学中我们总是假设我们已经知道什么是自然数。

自然数系N\N上可以定义加法和乘法，这一数系对加法和乘法封闭。

整数系

自然数系对减法不封闭。于是我们为每个自然数引入相反数，将自然数系拓展到整数系Z:={x∣x∈N}∪{−x∣x∈N}\Z:=\{x\mid x\in \N\}\cup \{-x\mid x\in \N\}。

有理数系

整数对除法不封闭，于是我们定义有理数系\Q:={ab∣a,b∈Z∧b≠0}\Q:=\{\dfrac{a}{b}\mid a,b\in \Z\land b\neq 0\}。

有理数系对除法是封闭的（当除数不为零时）。

有理数具有稠密性(denseness)：任意a,b∈\Qa,b\in \Q，一定存在一个c∈\Qc\in \Q使得a<c<ba<c<b，因为只需取c=a+b2∈\Qc=\dfrac{a+b}{2}\in \Q。也就是说，任意两个有理数之间都存在别的有理数，不存在两个有理数之间是没有任何别的有理数的。

戴德金分割

看上去，有理数已经是一个很完美的“连续”的数系了。然而，有理数系还是不够完整：方程x2=2x^2=2在有理数上是无解的。也即，不存在x∈\Qx\in \Q使得x⋅x=2x\cdot x=2。证明：假如存在x=pqx=\dfrac{p}{q}作为方程的解，不失一般性可以假设p,qp,q互素，那么p2=2q2p^2=2q^2，所以p2p^2是偶数。这意味着pp一定是偶数，可以设p=2rp=2r。所以4r2=2q24r^2=2q^2，因此q2=2r2q^2=2r^2。这说明q2q^2是偶数，所以qq也是偶数，这就与p,qp,q互素矛盾。证毕。

因此，x2=2x^2=2的解不是有理数。如果我们用“十进制小数”来表示数，那么我们就会发现x2=2x^2=2的（正数）解应该是一个介于1.4141.414和1.4151.415之间的无限不循环小数，我们称之为一个“无理数”。（注意，以上讨论中“十进制小数”、“无限不循环小数”等等都只是直观经验的数学，并不是我们所要建立的数学分析体系的一部分）

由此可见，有理数系依然是“不连续”的，这种不连续性已经体现为：我们期待随着xx从00开始在数系中逐渐增大时，x2x^2能经过数系中所有正数，然而我们已经证明了如果数系取有理数，那么x2x^2会跳过22这个值。所以，我们要扩展有理数系，我们希望新的数系要能解决这一“不连续”的问题。

对于x2=2x^2=2的正数解x>0x>0，如果令A={q∈\Q∣q2<2},B={q∈\Q∣q2>2}A=\{q\in \Q\mid q^2<2\},B=\{q\in \Q\mid q^2>2\}，那么我们会发现集合A,BA,B恰好“刻画”了xx的值：首先，x∉A,x∉Bx\not\in A,x\not\in B，并且xx大于全体AA中的有理数，小于全体BB中的有理数，所以我们写A<x<BA<x<B；其次，A,BA,B的刻画是足够精细的，不可能存在一个可与xx比较大小的数yy使得A<x<y<BA<x<y<B或A<y<x<BA<y<x<B。假如A<x<y<BA<x<y<B，我们证明存在一个有理数qq使得x<q<yx<q<y，从而推出矛盾。因为y−x>0y-x>0，所以1y−x>0\dfrac{1}{y-x}>0，因此我们可以找到一个正整数nn使得n>1y−xn>\dfrac{1}{y-x}，可见y−x>1ny-x>\dfrac{1}{n}，其中1n\dfrac{1}{n}是一个有理数。那么我们从00出发做步长为1n\dfrac{1}{n}的跳跃，跳跃过程中不可能跨越区间(x,y)(x,y)，因此一定经过区间(x,y)(x,y)内部，也即(x,y)(x,y)存在有理数。但是∀q∈\Q\forall q\in \Q，q2≠2q^2\neq 2，因此要么q2<2q^2<2要么q2>2q^2>2，所以我们有A∪B=\QA\cup B=\Q，这就推出了矛盾。综上可见，能够夹在A,BA,B之间的数有且仅有一个，这个数就是x2=2x^2=2的解。

基于以上观察，数学家戴德金(Dedekind)这样建立新的数系：如果集合A,BA,B满足∀a∈A,b∈B,a<b\forall a\in A,b\in B,a<b且A∪B=\QA\cup B=\Q，就称A,BA,B是\Q\Q的一个分割，记为A/BA/B。新的数系中的数与全体有理数的分割一一对应。首先我们观察到，不可能同时成立“AA有最大值”和“BB有最小值”。如果那样，那么取AA的最大值为a0a_0，BB的最大值为b0b_0，那么a0,b0∈\Q,a0+b02∈\Qa_0,b_0\in \Q,\dfrac{a_0+b_0}{2}\in \Q，于是a0<a0+b02<b0a_0<\dfrac{a_0+b_0}{2}<b_0，所以a0+b02∉A\dfrac{a_0+b_0}{2}\notin A且a0+b02∉B\dfrac{a_0+b_0}{2}\not\in B，所以a0+b02∉\Q\dfrac{a_0+b_0}{2}\not\in \Q，矛盾。那么，只有三种可能情况：如果AA有最大值a0a_0而BB没有最小值，那么我们认为这个分割对应有理数a0a_0；如果AA没有最大值而BB有最小值b0b_0，那么我们认为这个分割对应有理数b0b_0；如果AA没有最大值BB也没有最小值，那么我们认为这个分割对应一个无理数cc，仿照上一段的证明我们容易发现cc是唯一的，不存在一个与cc不相等而又能够同时大于AA中所有的有理数且小于BB中所有的有理数的数。新的数系称为实数，记为R\R。

通过定义\Q\Q上的分割，我们把数系\Q\Q扩展到了一个更大的数系R\R。那么如果在R\R上定义分割，我们会不会得到一个比R\R更大的数系呢？我们来尝试证明。定义R\R上的分割：如果集合A,BA,B满足∀a∈A,b∈B,a<b\forall a\in A,b\in B,a<b且A∪B=RA\cup B=\R，就称A,BA,B是R\R的一个分割，同样记为A/BA/B。考虑A~=A∩\Q,B~=B∩\Q\tilde A=A\cap \Q,\tilde B=B\cap \Q，此时A~/B~\tilde A/\tilde B是\Q\Q的分割。我们按照A~,B~\tilde A,\tilde B是否有最大最小值来分类讨论。如果A~\tilde A有最大值a0a_0，B~\tilde B无最小值，那么a0a_0一定是AA的最大值（否则存在a0′∈Aa_0'\in A使得a0<a0′a_0<a_0'，那么可以找到a∈\Qa\in \Q且a0<a<a0′a_0<a<a_0'，于是a∈A~a\in \tilde A，矛盾），BB无最小值（否则设其最小值为b0b_0，则(a0,a0+b02)\left(a_0,\dfrac{a_0+b_0}{2}\right)中存在有理数b′b'，b′>a0b'>a_0因此b′∈B~b'\in \tilde B，B~\tilde B无最小值说明存在b∈B~b\in\tilde B使得b<b′<b0b<b'<b_0，而b∈Bb\in B，矛盾）；如果A~\tilde A无最大值，B~\tilde B有最小值b0b_0，同理可证AA无最大值，BB有最小值b0b_0；如果A~\tilde A无最大值，B~\tilde B无最小值，那么它确定了无理数c∈Rc\in \R，由于R=A∪B\R=A\cup B，要么有c∈Ac\in A要么有c∈Bc\in B。如果c∈Ac\in A，那么cc是AA中的最大值（否则存在a′∈Aa'\in A使得c<a′c<a'，取a∈\Qa\in\Q且c<a<a′c<a<a'，那么a∈A~a\in \tilde A，而a>ca>c，因此大于A~\tilde A中所有数，是A~\tilde A中的最大值，矛盾。）同理，如果c∈Bc\in B，那么cc是BB中的最小值。综上所述，如果A/BA/B是R\R的一个分割，那么要么AA有最大值BB无最小值，要么AA无最大值BB有最小值。不会出现A,BA,B都没有最值的情况，因此分割不会进一步扩大数系了。

实数连续性定理

由戴德金分割定义的实数系R\R已经解决了“x2=2x^2=2有解”意义上的“连续性”问题。那么，重要的问题是这个数系“有多连续”呢？初学者必须意识到，“连续”是一个自然语言词汇，只是我们脑海中的一种感觉，比如每个数与数轴上的点一一对应，或者数在变大过程中没有孔洞。“连续”这个词所指向的数学本质是什么呢？下面我们来证明五个R\R上的定理，并看到它们都是等价的，它们都从某种意义上刻画了“R\R的连续性”。所以我们可以说，实数系的“连续性”的本质就是这五个定理中的任何一个。

确界存在定理

对于集合A⊆RA\subseteq \R，如果存在x∈Rx\in \R使得∀a∈A,a≤x\forall a\in A,a\leq x则称xx是AA的上界。取AA的全体上界集合，如果这个上界的集合有最小值，则称这个最小值为AA的上确界。同理，如果AA的下界集合的最大值存在，则这个最大值称为AA的下确界。

我们注意到，集合{x2<2}\{x^2<2\}在有理数系上是没有上确界的，但在实数系上有上确界，这个上确界就是x2=2x^2=2的正数解。

下面我们证明确界存在定理：对于R\R的子集SS，如果SS有上界那么SS一定有上确界，如果SS有下界那么SS一定有下确界。对于集合SS，设其上界集合为B={y∣y≥t,∀t∈S}B=\{y\mid y\geq t,\forall t\in S\}，取A=R∖BA=\R\setminus B，那么A/BA/B构成一个R\R上的分割。那么，要么AA有最大值，要么BB有最小值。∀a∈A\forall a\in A，aa不是SS的上界，因此存在t∈St\in S使得a<ta<t，取x=a+t2x=\dfrac{a+t}{2}，那么有a<x<ta<x<t，所以x∈Ax\in A且x>ax>a，可见AA没有最大值。所以BB有最小值，综上SS有上确界。同理可证SS有下确界。

单调有界数列收敛定理

R\R上的单调有界数列必定收敛。

把数列的所有值收集在一起形成一个数集，根据确界存在定理，这个数集在实数内肯定有确界。我们证明单调递增的有上确界的数列一定收敛于这个上确界。因为首先，数列内所有的数都小于等于上确界。同时根据确界的定义，取一个比上确界小一点点的数，就一定存在一个数列的项大于这个数，由于数列是单调的，这以后的项都被夹在这个数和上确界之间，这恰好符合数列极限“无限逼近”的要求。

借此我们知道了，如果一个数列的数取值范围在(a,b)(a,b)，那么数列的极限有可能到区间的a,ba,b两个点去，开区间对取极限操作是不封闭的。而闭区间对取极限操作就是封闭的。

闭区间套定理

一列闭区间套，如果区间的边界单调趋向同一个值，那么存在唯一的实数被套在所有闭区间里，这个数就是边界的极限值。因为所有区间左边界构成的数列是单调有界的，因此极限值就是左边界的上确界，右边也是同理。夹逼一下，就得到了这个唯一的数。

借此我们能够证明实数是不可数的。假设我们把[0,1][0,1]的实数列举为数列xnx_n。我们每次把当前区间三等分（之所以不是二等分是因为xix_i可能刚好落在中间点），那么一定有一个区间是不包含当前的xix_i的。取出那个区间，不断操作。从x1x_1开始无限操作下去，我们得到一列闭区间套。根据闭区间套定理，这中间一定套着一个实数，而根据我们的做法，这个实数不可能被xnx_n列举在内，因为如果被列举在内，那么一定可以取那个不含有它的区间，使得它没有被列举在内。可见“实数的个数是比自然数多的”。

Bolzano-Weierstrass定理

有界数列必有收敛子列。

因为数列有界，我们可以取数列的某个上界和下界，并在中间二等分成两个区间。因为数列有无穷个项，所以至少有一个区间内有无穷个项。我们取那个有无穷个项的区间，再次二分。这样操作无限次，我们就得到一个“无穷窄”的区间里有无穷个项。根据闭区间套定理，这个区间里的项统统逼近一个实数，这个实数就是被套在闭区间套里的这个实数。而“无穷个项”就是“某个子列”。

Cauchy收敛原理

任意给定一个很小的正数，如果能找到从某一项开始数列的最大摆动幅度不超过这个正数，那么数列就收敛。

首先，能让摆动幅度不超过这个数的数列一定是有界的。那么根据Bolzano-Weierstrass定理，它一定有收敛子列。既然∣an−am∣|a_n-a_m|可以小于任意值，我们让mm全都取在这个子列上，那么当mm充分大的时候，∣an−lim⁡am∣|a_n-\lim a_m|也可以小于任意值。这就证明了ana_n收敛。

由于收敛数列一定能使摆动幅度小于任意值，所以这个条件和数列收敛是充分必要的。即，Cauchy收敛原理是数列收敛的充分必要条件。并且与以往判定数列收敛不同，用Cauchy收敛原理判定数列收敛不需要用到“存在某个实数AA”，而是完全通过对xnx_n本身的信息就可以完成判定了。

连续性定理的等价性

我们依次证明了确界存在定理，由此推出单调有界数列必收敛，由此推出闭区间套定理，由此推出有界数列必有收敛子列，由此推出Cauchy收敛原理。现在我们倒过去，从Cauchy收敛原理推闭区间套定理，再推确界存在定理，这就说明这五个定理是完全等价的，他们统称为实数系连续性定理，或实数系基本定理，或实数系完备性定理。

Cauchy收敛原理⇒\Rightarrow闭区间套：在闭区间套[ai,bi][a_i,b_i]中，由于0≤am−an<bn−an0\leq a_m-a_n<b_n-a_n，夹逼得到am−ana_m-a_n收敛，所以ana_n满足Cauchy收敛原理的条件。bnb_n同理。所以an,bna_n,b_n都收敛，由于单调性，ana_n的极限大于等于所有ana_n，bnb_n的极限小于等于所有bnb_n。所以这两个极限都能落在闭区间套里。如果这两个极限不相同，那bn−anb_n-a_n就不能收敛到0了。这就证明了闭区间套定理。

闭区间套⇒\Rightarrow确界存在：对于有上界的数集（下界同理），先定一个区间，使得上边界是一个上界，下边界不是。于是，我们不断二分这个区间，始终保持这种“横跨”，最后套出来的这个点就满足上确界的定义。

实数的公理化定义

事实上，现代数学通常不会由自然数的数系扩张来定义实数，而是直接通过公理化来定义实数。现代数学中，实数被定义为任何满足下面四组公理的模型：

  • 域公理：R\R关于加法与乘法构成域（也即R\R是关于加法的阿贝尔群，R∖0\R\setminus 0是关于乘法的阿贝尔群，满足分配律）；
  • 序公理：R\R的元素之间存在二元关系≤\leq使得：
    ∀x∈R,x≤x\forall x\in \R,x\leq x；
    ∀x,y,z∈R,(x≤y)∧(y≤x)  ⟹  x=y\forall x,y,z\in \R,(x\leq y)\land (y\leq x)\implies x=y；
    ∀x,y,z∈R,(x≤y)∧(y≤z)  ⟹  x≤z\forall x,y,z\in \R,(x\leq y)\land (y\leq z)\implies x\leq z；
    ∀x,y∈R,(x≤y)∨(y≤x)\forall x,y\in \R, (x\leq y)\lor (y\leq x)
  • 阿基米德公理：∀x,y∈R,x>0,y>0\forall x, y \in \mathbb{R}, x > 0, y > 0，则 ∃n∈N\exists n \in \mathbb{N} 使得 nx>ynx > y；
  • 完备性公理；

其中，完备性公理这一条可以填上面五条实数完备性定理中的任何一条，也可以填“实数的戴德金分割不可能既无最大值又无最小值”这一条（称为戴德金定理）。

可以看到，上面四条公理涵盖了我们在通过数系扩张构造的实数系的所有关键点。域公理定义了实数上的运算，序公理定义了实数之间的大小比较，阿基米德公理概括了“稠密性”，完备性公理概括了“连续性”。