条件期望

条件期望

根据条件概率我们可以定义条件期望：$E[X|A]=\sum\limits_{i}i\Pr(X=i|A)$或者$E[X|A]=\sum\limits_{\omega}X(\omega)\Pr(\omega|A)$。

根据全概率公式$\Pr(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}\Pr(A \cap B_i)$可以验证全期望公式$E[X]=\sum\limits_{i=1}^{n}E[X|A_i]\Pr[A_i]$。

根据定义证明：$E[X]=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\Pr[A_i]\sum\limits_{x}x\Pr(X=x|A_i)\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\sum\limits_{x}x\Pr(X=x|A_i)\Pr[A_i]\right)$ $=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{x}x\Pr(X=x \cap A_i)=\sum\limits_{x}x\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\Pr(X=x \cap A_i)\right)=\sum\limits_{x}x\Pr(X=x)$。