证明正多面体只有五个

方法一：欧拉公式

假设一个正多面体的顶点数为$V$，边数为$E$，面数为$F$。那么假如该多面体为正$n$面体，并且每个顶点有$m$条边，那么$E=m\cdot V/2$，$F = m\cdot V/ n$。由多面体的欧拉公式，$V+F-E=2$，代入可得$(2n+2m-nm)V=4n$。

所以，$V=\dfrac{4n}{2n+2m-nm},E=\dfrac{2nm}{2n+2m-nm},F=\dfrac{4m}{2n+2m-nm}$。

于是，问题转化为了一个整数规划问题。首先，$n \geq 3, m\geq 3$，并且由$2n+2m-nm>0$可得$m<\dfrac{2n}{n-2}$。可见当$n>6$时$m<3$，因此$n\leq 6$。而当$n\geq 3$时$m< 6$，可见$m\leq 5$。

那么对于$3\leq n \leq 6,3\leq m \leq 5$，枚举有序对$(n,m)$，可能的有序对有$(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)$

对于$(3,3)$，$F=4$，得正四面体；

对于$(3,4)$，$F=8$​，得正八面体；

对于$(3,5)$，$F=20$，得正二十面体；

对于$(4,3)$，$F=8$，得正六面体；

对于$(5,3)$，$F=12$，得正十二面体；

以上五个正多面体都可构造得到。综上，共有五个不同的正多面体。

方法二：内角和不等式

多面体共顶点的棱相邻夹角的和小于$2\pi$。设正多面体是正$n$面体，每个顶点有$m$条棱，那么$m\cdot (\pi-\dfrac{2\pi}{n})< 2\pi$，因此$2m+2n> nm$。其余同方法一。