05 拓扑群

拓扑不变量(Topological Invariant)

我们已经看到，拓扑学关心的“几何性质”是在同胚下保持不变的性质。拓扑学不关心点的具体位置或具体的空间曲率，而关心所有与该拓扑同胚的对象所共同拥有的性质。

例如，欧拉发现了所有的凸多边形有这样的一个性质：顶点数$V$-边数$E$+面数$F$总是恒等于$2$。这称为多边形的欧拉公式。但是一些非凸多边形的$V-E+F$却不等于$2$。尽管如此，有一些非凸多边形的$V-E+F$也等于$2$。所以几何学家追问，究竟是什么样的多边形恰好有$V-E+F=2$？最终是拓扑学回答了这个问题，人们发现所有表面同胚于球面的多边形都满足这一性质。同胚是一种连续变换，“同胚于球面”可以形象地理解为如果我们给几何体慢慢充气，它最终会膨胀为一个球面。所以如果我们在一个立方体的一个面上浅浅挖一个小洞，给它充气以后它依然同胚于球面。这就是为什么这样的几何图形尽管不是凸多边形，却依然满足欧拉公式。

人们后来推广了欧拉公式。球面可以看作亏格(genus)为0的几何图形，而一个环面（甜甜圈形状的几何图形）是亏格为1的几何图形。人们证明了，如果一个凸多边形的表面同胚与亏格为$g$的闭曲面，那么$V-E+F=2-2g$。

拓扑学的终极目标之一就是区分出所有互不同胚的曲面（这就好像代数中我们希望能区分出所有大小为$n$的互不同构的有限群一样）。为了证明两个曲面不同胚，我们当然不可能一一检验所有的映射，证明任意映射都不连续。我们可以定义拓扑空间的某一特征，使得所有互相同胚的拓扑的这一特征都是相同的，而不同胚一定会使这一特征不同。这一特征就被称为一个拓扑不变量(topological invariant)。要证明两个拓扑不同胚，只需要找到一个拓扑不变量，使得两个拓扑的这一不变量不相等。一个拓扑不变量可以是一个实数，也可以是一个代数结构（比如一个群，一个环等等）。

例如，欧拉公式所给出的$V-E+F$就可以看作一个拓扑不变量，称为欧拉示性数(Euler Characteristic)。只要两个多边形的欧拉示性数不同，这两个多边形的表面就一定不同胚。