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04 商拓扑

DennyQi · June 9, 2025 · 16 min read

粘合空间(Identification Space)

莫比乌斯环

还记得如何制作一个莫比乌斯环吗？只需把一张矩形纸片的对边反方向粘起来。也即，对于矩形ABCDABCD，我们让ABAB和CDCD紧贴，其中AA和CC重叠，BB和DD重叠，这样就得到了一个莫比乌斯环。如果我们简单地让AA和DD重叠，BB和CC重叠，那么我们会得到圆柱，而不是莫比乌斯环。

我们可以用集合的等价类来描述这一“粘合”的过程。设矩形纸片是R2\R^2标准拓扑下的一个闭子集{(a,b)∣a∈[−ℓ,ℓ],b∈[−1,1]}\{(a,b)\mid a\in [-\ell,\ell], b\in [-1,1]\}。那么我们可以这样划分等价类：对于(a,b)(a,b)，如果∣a∣≠ℓ|a|\neq \ell，那么(a,b)(a,b)所在的等价类只包含它自己；如果∣a∣=ℓ|a|=\ell，那么其所在的等价类是{(a,b),(−a,−b)}\{(a,b),(-a,-b)\}。记这个等价类为RR，全体等价类构成的集合记为X/RX/R，称为由RR给出的XX的商集(quotient set)。

我们之所以认为“矩形纸片”、“由这张矩形纸片所粘成的圆柱”、“由这张矩形纸片所粘成的莫比乌斯环”是不同的几何图形，是因为当我们想象“圆柱”或“莫比乌斯环”时，我们已经自然地为它们赋予了拓扑，这一拓扑就是它们在三维空间中作为R3\R^3的子空间拓扑。所以，我们还不能认为上面定义的商集X/RX/R是莫比乌斯环，因为我们还没有为这个集合赋予拓扑。你当然可以给它赋予{∅,X/R}\{\varnothing,X/R\}这样的平凡拓扑，但这一拓扑完全没有反映出莫比乌斯环的几何性质。重要的问题是，什么是莫比乌斯环的几何性质？怎样从X/RX/R的构造出发给出一个能反映这一几何性质的拓扑？

事实上，我们总可以在R3\R^3中用某个具体的曲面方程把矩形粘合之后莫比乌斯环写出来。但是，这样的写法有无数种：一个莫比乌斯环可以是“均匀纽绞”而成的，也可以是在某一处“急剧地纽绞”而成的；可以是对称摆放的，也可以是不对称的。我们关心的是一般的莫比乌斯环的几何性质，而不是某一特殊的莫比乌斯环的几何性质。这种一般性质其实就是“莫比乌斯环的拓扑性质”。在讨论同胚时，我们已经发现：拓扑性质对应着某种连续映射。莫比乌斯环的一般几何性质为：矩形侧边的点镜像粘合；矩形上距离相近的两个点，在莫比乌斯环上距离依旧相近。以上两点的第一点反映出粘合纸带的方式；第二点反映出，莫比乌斯环的确是由一张纸带粘合而成的。于是我们得出结论：X/RX/R上的拓扑应该满足这样的性质，它会使从xx到等价类[x]R[x]_R的映射是连续的。这一映射就是由等价类给出的自然映射。下面我们严格地叙述。

商拓扑

给定一个集合XX以及其上的一个拓扑τX\tau_X。给出XX上的一个等价关系RR。函数π:X→X/R,π(x)=[x]R\pi:X\to X/R,\pi(x)=[x]_R称为自然映射(natural mapping)，其中[x]R[x]_R是以xx为代表元的等价类{y∈X∣xRa}\{y\in X\mid xRa\}。我们希望定义一个X/RX/R上的拓扑τQ\tau_Q，使得自然映射π\pi是连续的。

下面证明，τQ={U∣U⊆X/R,π−1(U)∈τX}\tau_Q=\{U\mid U\subseteq X/R,\pi^{-1}(U)\in \tau_X\}是拓扑。根据连续的定义，显然这个拓扑使得π\pi是连续映射。所以只需验证三条性质证明τQ\tau_Q是拓扑。

  • π(∅)=∅\pi(\varnothing)=\varnothing；π(X)=X/R\pi(X)=X/R；
  • 设∀α∈J,Uα∈τQ\forall \alpha\in J,U_\alpha\in \tau_Q，也即π−1(Uα)∈τX\pi^{-1}(U_\alpha)\in \tau_X，根据τX\tau_X是拓扑，所以⋃α∈Jπ−1(Uα)∈τX\bigcup\limits_{\alpha\in J}\pi^{-1}(U_\alpha)\in \tau_X。而⋃α∈Jπ−1(Uα)=π−1(⋃α∈JUα)\bigcup\limits_{\alpha\in J}\pi^{-1}(U_\alpha)=\pi^{-1}\left(\bigcup\limits_{\alpha\in J}U_\alpha\right)，所以⋃α∈JUα∈τQ\bigcup\limits_{\alpha\in J}U_\alpha\in \tau_Q；
  • 设U1,U2∈τQU_1,U_2\in \tau_Q，那么π−1(U1),π−1(U2)∈τX\pi^{-1}(U_1),\pi^{-1}(U_2)\in \tau_X，所以π−1(U1)∩π−1(U2)∈τX\pi^{-1}(U_1)\cap \pi^{-1}(U_2)\in \tau_X。而π−1(U1)∩π−1(U2)=π−1(U1∩U2)\pi^{-1}(U_1)\cap \pi^{-1}(U_2)=\pi^{-1}(U_1\cap U_2)。所以U1∩U2∈τQU_1\cap U_2\in \tau_Q；

τQ\tau_Q就称为X/RX/R上的商拓扑(quotient topology)。可以看出，τQ\tau_Q是可能使得π\pi连续的最粗的拓扑了。X/RX/R上任何能使π\pi连续的拓扑都至少包含τQ\tau_Q中的元素。

粘合映射

研究商拓扑真的对研究实际的子空间拓扑有帮助吗？比如，对于R2\R^2上的矩形XX，通过物理上的粘合我们的确能得到R3\R^3上的一个莫比乌斯环，它是R3\R^3的子集YY。那么，YY上的子空间拓扑τY\tau_Y和X/RX/R上的商拓扑τQ\tau_Q是否是同胚的？对于莫比乌斯环来说，答案是肯定的。

首先，我们定义粘合映射(identification mapping)的概念。对于拓扑空间X,YX,Y，如果f:X→Yf:X\to Y满足以下两个条件，则称ff为粘合映射：

  • ff是连续映射并且是满射；
  • ∀U⊆Y\forall U\subseteq Y，f−1(U)∈τX  ⟹  U∈τYf^{-1}(U)\in \tau_X\implies U\in \tau_Y；

容易证明，粘合映射的复合依然是粘合映射。

对于给定的R2\R^2上的矩形XX，我们在物理空间上可以由XX构造得到一个R3\R^3上的任意一个莫比乌斯环。取物理意义下点的一一对应的映射ff，下面我们来证明这个ff总是粘合映射。显然，ff是连续映射并且是满射。如果ff是闭映射，也即如果对于任意τX\tau_X中的闭集UU，都有f(U)f(U)是τY\tau_Y中的闭集，那么ff是粘合映射得证（∀U⊆Y\forall U\subseteq Y，如果f−1(U)∈τXf^{-1}(U)\in \tau_X，那么X∖f−1(U)X\setminus f^{-1}(U)是闭集，根据ff是闭映射，f(X∖f−1(U))f(X\setminus f^{-1}(U))是闭集，也即f(X)∖f(f−1(U))=Y∖Uf(X)\setminus f(f^{-1}(U))=Y\setminus U是闭集，也即U∈τYU\in \tau_Y）。那么只需证ff是闭映射。因为XX是矩形，所以是R2\R^2中的紧集。那么对于任意XX中的闭集CC，CC是紧集。因为ff是连续映射，所以f(C)f(C)是紧集。而YY是Hausdorff空间，所以f(C)f(C)是闭集。证毕。

现在我们来证明，如果f:X→Yf:X\to Y是粘合映射，那么YY与X/RfX/R_f同胚。其中，RfR_f是由ff诱导的XX上的等价类（也即，∀x,y∈X,xRy  ⟺  f(x)=f(y)\forall x,y\in X,xRy\iff f(x)=f(y)），这一等价类的划分和RR本质上是相同的。根据粘合映射，我们已知YY到X/RfX/R_f存在双射gg。所以要证同胚，只需证g,g−1g,g^{-1}连续。下证gg连续：对于任意X/RfX/R_f中的开集UU，要证g−1(U)g^{-1}(U)是YY中的开集，即证f−1(g−1(U))f^{-1}(g^{-1}(U))是XX中开集。根据自然映射的定义，这就是证π−1(U)\pi^{-1}(U)是开集，根据π\pi的连续性，得证；下证g−1g^{-1}连续：因为π∘g−1=f\pi\circ g^{-1}=f，而π\pi和ff都连续，所以g−1g^{-1}连续。

综上我们看到，τY\tau_Y和τQ\tau_Q确实是同胚的。回顾“嵌入(embedding)”的定义，我们发现我们上面发现的同胚gg恰好给出了X/RX/R嵌入R3\R^3的方式。

克莱因瓶

存在这样的粘合矩形的方式，可以证明它无法嵌入到R3\R^3中。对于矩形ABCDABCD，首先粘合BCBC和ADAD得到一个圆柱，接着镜像粘合ABAB和CDCD，这样得到的图形称为一个克莱因瓶(Klein Bottle)。我们会发现圆柱必须以某种方式穿过自身才可能实现这样的粘合。但是当我们构造商空间时，并不会把这一物理“穿越”描述为等价类中的点。人们最终证明，R3\R^3中是不可能嵌入克莱因瓶的。

但是可以证明，克莱因瓶可以嵌入R4\R^4中。我们可以这样理解这一点：对于在二维平面里相交的两条绳子，如果放在三维空间中，我们只需要在交点处把一条绳子微微抬起即可。所以在三维空间中相交的曲面，我们只要在四维空间中把其中一个“微微抬起”，就可以避免相交从而实现“嵌入”了。

虽然克莱因瓶无法嵌入R3\R^3，但是它总是可以用商拓扑描述。这也反映出商拓扑这一定义的普适性。

模空间(Moduli Space)

商拓扑不仅可以用于粘合空间，也可以用于表示一类具有某几何性质的集合族，这样的集合称为“模空间”。例如，R2\R^2上所有过原点的直线几何是一个模空间，称为实射影空间(Real Projective Space)，记为RP1\mathbb{RP}^1。∀(x1,y1),(x2,y2)∈R2∖{(0,0)}\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\R^2\setminus \{(0,0)\}，(x1,y1)(x_1,y_1)和(x2,y2)(x_2,y_2)存在于RP1\mathbb{RP}^1的同一个元素（等价类）中当且仅当∃λ∈R,x1=λy1∧x2=λy2\exists \lambda\in \R,x_1=\lambda y_1 \land x_2=\lambda y_2。可见，RP1\mathbb{RP}^1也可以通过在R2\R^2定义等价类来得到。所以我们可以为RP1\mathbb{RP}^1赋予商拓扑，这样的商拓扑反映出从R2\R^2到RP1\mathbb{RP}^1的连续性：两个在平面上相近的点，对应的射影之后的直线也是相近的（夹角很小）。