费曼积分法

Leibniz Integral Rule

假设二元函数$f(x,y)$连续，可以证明$I(y)=\displaystyle\int_a^{b}f(x,y)\text{ d} x$连续。连续意味着：$\lim\limits_{y\to y_0}I(y)=I(y_0)$，所以$\lim\limits_{y\to y_0}I(y)=\displaystyle\int_a^b f(x,y_0)\text{ d} x=\displaystyle\int_a^b \left[\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)\right]\text{ d} x$。

由此，我们可以证明$\dfrac{\text{ d}}{\text{ d} y}I(y)=\displaystyle\int_a^b \left[\dfrac{\part}{\part y}f(x,y)\right]\text{ d} x$：对于任意的$\Delta y>0$，我们有$\dfrac{I(y+\Delta y)-I(y)}{\Delta y}=\dfrac{\displaystyle\int_a^{b}f(x,y+\Delta y)\text{ d} x-\displaystyle\int_a^{b}f(x,y)\text{ d} x}{\Delta y}$ $=\dfrac{\displaystyle\int_a^{b}f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\text{ d} x}{\Delta y}$。根据一元函数的微分中值定理，存在$0<\xi<1$使得$f(x,y+\Delta y)-f(x,y)=\Delta y \cdot \dfrac{\part}{\part y}f(x,y+\xi\cdot\Delta y)$。于是$\dfrac{I(y+\Delta y)-I(y)}{\Delta y}=\displaystyle\int_a^{b}\dfrac{\part}{\part y}f(x,y+\xi\cdot \Delta y)\text{ d} x$。两边同时令$\Delta y\to 0$，得到$\lim\limits_{\Delta y\to 0}\dfrac{I(y+\Delta y)-I(y)}{\Delta y}=\dfrac{\text{ d}}{\text{ d} y}I(y)=\lim\limits_{\Delta y\to 0}\displaystyle\int_a^{b}\dfrac{\part}{\part y}f(x,y+\xi\cdot \Delta y)\text{ d} x=$ $\displaystyle\int_a^b \left[\dfrac{\part}{\part y}f(x,y)\right]\text{ d} x$。

可见，对于连续函数，积分外的求导符号可以移到积分内：$\dfrac{\text{ d}}{\text{ d} y}\displaystyle\int_a^b f(x,y)\text{ d} x=\displaystyle\int_a^b \left[\dfrac{\part}{\part y}f(x,y)\right]\text{ d} x$。

Feynman's Trick

上面的定理可以帮助我们求解积分。

当求解定积分$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^2-1}{\ln x}\text{ d} x$时，我们首先可以把它看作含参变量的定积分$I(t)=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^t-1}{\ln x}\text{ d} x$，那么只需解出$I(2)$。两边同时对$t$求导，得$I'(t)=\dfrac{\text{ d}}{\text{ d} t}\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^t-1}{\ln x}\text{ d} x$，由Leibniz Integral Rule，右式等于$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\part}{\part t}\dfrac{x^t-1}{\ln x}\text{ d} x=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^{t}\ln x}{\ln x}\text{ d} x=\displaystyle\int_0^1 x^{t}\text{ d} x=\dfrac{1}{t+1}$。所以$I(t)=\displaystyle\int \dfrac{1}{t+1}\text{ d} t=\ln(t+1)+C$。当$t=0$时，积分恒为0，因此$C=0$。代入$t=2$，得到原积分的值为$\ln 3$。