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01 群

DennyQi · August 24, 2025 · 68 min read

抽象代数研究的基本对象是代数结构(algebraic structures)。通常而言，一个代数结构是一个集合SS以及SS上的若干个运算（运算是指若干个SS的笛卡尔积到SS的一个映射。例如，二元运算就是一个映射S×S→SS\times S\to S）。

群的定义

一个群(group)是一个非空集合GG及其上的二元运算∘\circ构成的二元组(G,∘)(G,\circ)，满足：

  • ①封闭性(closure)：∀a,b∈G,a∘b∈G\forall a,b\in G,a\circ b \in G；
  • ②结合律(associativity)：∀a,b,c,a∘(b∘c)=(a∘b)∘c\forall a,b,c,a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c；
  • ③存在单位元(identity)：∃e∈G,∀a∈G,a∘e=e∘a=a\exists e\in G,\forall a \in G,a\circ e=e\circ a =a；
  • ④存在逆元(inverse)：∀a∈G,∃a′∈G,a∘a′=a′∘a=e\forall a \in G,\exists a'\in G,a \circ a'=a'\circ a=e；

(Z,+Z)(\Z, +^\Z)就是一个群，称为“整数加法群”。因为：两个整数相加依然是整数，满足封闭性；整数加法满足结合律；00是单位元；一个数的相反数是它的逆元。

如果一个群上的运算满足交换律，就把这个群称为“交换群(commutative group)”，或“阿贝尔群(Abelian group)”：

  • ⑤交换律(commutativity)：∀a,b,a∘b=b∘a\forall a,b,a\circ b=b\circ a；

(Z,+)(\Z,+)就阿贝尔群，因为整数加法满足交换律。

整数乘法构成的(Z,⋅)(\Z,\cdot)不是群，因为此时单位元是11，那么00不存在逆元；同理，有理数乘法构成的(\Q,⋅)(\Q,\cdot)也不是群。如果去掉00，(Z∗,⋅)(\Z^*,\cdot)依然不是群，因为22的逆元不是整数。但是，(\Q∗,⋅)(\Q^*,\cdot)是群，同时是一个阿贝尔群。

给定正整数nn，全体n×nn\times n的可逆实数矩阵集合MM与矩阵乘法运算构成矩阵乘法群(M,⋅)(M,\cdot)。因为：两个可逆矩阵相乘依然是可逆矩阵（设A,BA,B可逆，那么(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}，因为A,BA,B可逆所以A−1,B−1A^{-1},B^{-1}都存在，可见ABAB可逆），满足封闭性；矩阵乘法满足结合律；单位元是单位矩阵II；每个可逆矩阵的逆元就是它的逆矩阵。但是，矩阵乘法不满足交换律，所以矩阵乘法群不是阿贝尔群。

以上例子都是元素个数无限的群，称为无限群(infinite group)。也存在元素个数有限的群，称为有限群(finite group)。令G={e}G=\{e\}，e∘e=ee\circ e=e，容易证明这构成了只有一个元素的群， 是最小的有限群。对于任意n∈Nn\in \N，定义Zn={0,1,⋯ ,n−1}\Z_n=\{0,1,\cdots,n-1\}，定义∘\circ是模nn意义下的加法+mod n+_{\text{mod } n}，那么容易证明(Zn,+mod n)(\Z_n,+_{\text{mod } n})构成群。所以：存在任何有限大小的群。

对于任何nn，(Zn,⋅mod n)(\Z_n,\cdot_{\text{mod } n})不是群，因为单位元是11，而00没有逆元。

去掉0，对于某些nn，(Zn∗,⋅)(\Z_n^*,\cdot)也不是群，例如(Z4∗,⋅)(\Z^*_4,\cdot)中2⋅2=02\cdot 2=0，不封闭。

但是可以证明(Zp∗,⋅)(\Z^*_p,\cdot)一定是群，其中pp是素数。这是因为根据费马小定理，Zp∗\Z_p^*在模pp意义下乘法逆元始终存在，见数的算法。于是自然地，由欧拉定理可以验证，对任意n∈Nn\in \N取出所有与nn互素的数（共φ(n)\varphi(n)个）构成集合Znφ\Z_{n}^\varphi，(Znφ,⋅)(\Z_{n}^\varphi,\cdot)是群。

群的基本性质

单位元的唯一性

群中的单位元是唯一的。假设群(G,∘)(G,\circ)有两个不相等的单位元e≠e′e\neq e'，那么根据单位元的定义有e∘e′=e′∘e=ee \circ e'=e'\circ e=e。因为ee是单位元，所以e′∘e=e∘e′=e′e' \circ e=e\circ e'=e'。因此e′=ee'=e，矛盾。

逆元的唯一性

群中任何一个元素的逆元是唯一的。对于任意aa，假设aa有两个不同的逆元b,b′b,b'。那么b=e∘bb=e\circ b，代入b′∘a=eb'\circ a =e，有b=(b′∘a)∘bb=(b'\circ a)\circ b，根据结合律b=b′∘(a∘b)b=b'\circ (a\circ b)。而a∘b=ea\circ b=e，因此b=b′∘e=b′b=b'\circ e=b'，矛盾。

因为逆元是唯一的，所以我们可以把aa的逆元记为a−1a^{-1}。元素运算的逆元满足法则：

(a∘b)−1=b−1∘a−1(a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}

证明：只需验证b−1∘a−1b^{-1}\circ a^{-1}是a∘ba\circ b的逆元。即证(a∘b)∘(b−1∘a−1)=(a\circ b)\circ (b^{-1}\circ a^{-1})= (b−1∘a−1)∘(a∘b)=e(b^{-1}\circ a^{-1})\circ (a\circ b)=e。由结合律可知成立。更一般的，nn个元素运算的逆元满足法则（用归纳法即可证明）：

(a1∘⋯∘an)=an−1∘⋯∘a1−1(a_1\circ \cdots \circ a_n)=a_n^{-1}\circ \cdots \circ a_1^{-1}

消去律

左消去律：

a∘b=a∘c  ⟺  b=ca\circ b=a\circ c\iff b= c

证明：左推右，由于二元运算是函数，因此a−1∘(a∘b)=a−1∘(a∘c)a^{-1}\circ (a\circ b)=a^{-1}\circ (a\circ c)，由结合律得b=cb=c。右推左，同样由于二元运算的函数性质可以两边同时左乘aa，等式依然成立。

同理，右消去律也成立：

b∘a=c∘a  ⟺  b=cb\circ a=c\circ a \iff b=c

消去律带给我们一个极其重要的群的性质：给定群(G,∘)(G,\circ)，对于任意g∈Gg\in G可以构造这样一个映射fg:G→Gf_g:G\to G，fg(x)=g∘xf_g(x)=g\circ x。这个映射一定是双射：因为g∘x1=g∘x2g\circ x_1=g\circ x_2可以由消去律推出x1=x2x_1=x_2，所以fgf_g是单射；对于任意y∈Gy\in G，可以取x=g−1∘yx=g^{-1}\circ y，那么fg(x)=yf_g(x)=y，因此fgf_g是满射。可见，在群中左乘一个元素就会得到一个双射！如果这个群是有限群，那么这个双射就是群中元素的重新排列(permutation)。

为了书写方便，我们也用指数上标来表示相同元素累乘。记a∘a=a2a\circ a=a^2，a∘a∘a=a3a\circ a\circ a=a^3，以此类推。根据结合律容易证明：

am+n=am∘anamn=(am)na^{m+n}=a^m\circ a^n\\a^{mn}=(a^m)^n

群的等价定义

在群的定义中，我们要求单位元同时作为任意元素的“左单位元”和“右单位元”，同时要求任意元素既有“左逆”又有“右逆”。事实上我们可以弱化这一条件。也即，如果把定义中的③和④改为⑥和⑦：

  • ⑥存在左单位元(left identity)：∃eL∈G,∀a∈G,eL∘a=a\exists e_L\in G,\forall a \in G,e_L\circ a =a；
  • ⑦存在左逆(left inverse)：∀a∈G,∃aL′∈G,aL′∘a=eL\forall a \in G,\exists a'_L\in G,a'_L \circ a=e_L；

我们证明对于任意二元组(G,∘)(G,\circ)，①②③④  ⟺  \iff①②⑥⑦。这说明①②⑥⑦可以作为群的等价定义。既然这样，以后我们只需使用这种简化了的群的定义即可。证明：左推右，显然成立；右推左，已知⑥⑦成立，对于任意a∈Ga\in G，我们有∃aL′∈G,aL′∘a=eL\exists a'_L\in G,a'_L \circ a=e_L。aL′a_L'也有左逆，记为aL′′a_L''，则aL′′∘aL′=eLa_L''\circ a_L'=e_L。那么a∘aL′=(eL∘a)∘aL′=((aL′′∘aL′)∘a)∘aL′a\circ a'_L=(e_L\circ a) \circ a'_L=((a''_L\circ a'_L)\circ a)\circ a'_L，而aL′∘a=eLa'_L\circ a = e_L，根据结合律有aL′′∘(eL∘aL′)=aL′′∘aL′=eLa''_L\circ (e_L\circ a'_L)=a''_L\circ a'_L=e_L。可见“∀a∈G,∃aL′∈G,a∘aL′=aL′∘a=e\forall a \in G,\exists a'_L\in G,a \circ a'_L=a'_L\circ a=e”，④得证。对于任意a∈Ga\in G，我们有a∘eL=a∘(aL′∘a)=a\circ e_L=a\circ (a'_L\circ a)= (a∘aL′)∘a=eL∘a=a(a\circ a'_L)\circ a=e_L\circ a=a。可见“∃eL∈G,∀a∈G,a∘eL=eL∘a=a\exists e_L\in G,\forall a \in G,a\circ e_L=e_L\circ a =a”，③得证。证毕。

“存在单位元与存在逆元”与以下条件等价：对于任何a,b∈Ga,b\in G，存在x∈Gx\in G使得a∘x=ba\circ x=b，存在y∈Gy\in G使得y∘a=by\circ a=b。左推右显然，只需取x=a−1∘bx=a^{-1}\circ b，y=b∘a−1y=b\circ a^{-1}。右推左，对于固定的aa，存在y0y_0使得y0∘a=ay_0\circ a=a；∀g∈G\forall g \in G，一定存在x0∈Gx_0\in G使得a∘x0=ga\circ x_0=g，那么y0∘g=y0∘(a∘x0)=(y0∘a)∘x0=a∘x0=gy_0\circ g=y_0\circ (a\circ x_0)=(y_0\circ a)\circ x_0=a\circ x_0=g，可见y0y_0是左单位元eLe_L。而对于任意的h∈Gh \in G，根据条件一定存在z∈Gz\in G使得h∘z=eLh\circ z=e_L，可见任何元素都存在右逆。而存在左逆和存在左单位元等价于存在逆元和存在单位元。由此可见，群的另一种等价定义为：封闭；结合律；对于任何a,b∈Ga,b\in G，存在x∈Gx\in G使得a∘x=ba\circ x=b，存在y∈Gy\in G使得y∘a=by\circ a=b。

对于有限群，设G={g1,⋯ ,gn}G=\{g_1,\cdots,g_n\}，我们证明过函数fa(gi)=a∘gif_a(g_i)=a\circ g_i是双射。双射成立的原因在于消去律成立，而不涉及单位元和逆元存在这两个条件。而如果双射成立，那么能够说明对于任意的a,b∈Ga,b\in G，a∘x=b,y∘a=ba\circ x=b,y\circ a=b都是有根的。所以根据上一段的等价定义，把单位元和逆元这两个条件替换成左右消去律，就构成了等价定义，当然这是对于有限群才成立的。有限群的等价定义为：封闭；结合律；左消去律；右消去律。注意，一个无限集合仅满足封闭、结合律和左右消去律并不一定能构成群。以(N,+)(\N,+)为例，满足左右消去律，但是任何n>0n>0都不存在逆元。体现在证明中，一个无限域上的单射并不能推出双射，因此不能沿用刚才的证明。

子群(Subgroup)

如果群GG的一个非空子集HH也是一个群，就称HH是GG的子群，记为H⪯GH \preceq G。如果H≠GH \neq G，则称HH是GG的真子群，记为H≺GH \prec G。仅由单位元构成的群{e}\{e\}一定是GG的子群，GG本身也永远是GG的子群。这两个子群称为平凡子群(trivial subgroup)。

子群的等价定义

我们定义在代数运算∘\circ下集合的乘积(product)和逆(inverse)。对于A,BA,B，定义A∘B:={a∘b∣a∈A,b∈B}A\circ B:=\{a\circ b\mid a\in A,b\in B\}。定义A−1:={a−1∣a∈A}A^{-1}:=\{a^{-1}\mid a \in A\}。在接下来的子群的等价定义中，我们要用到这两个集合上的运算。

对于GG的非空子集HH，H⪯G  ⟺  H∘H⊆H∧H−1⊆HH\preceq G\iff H\circ H \subseteq H\land H^{-1}\subseteq H。左推右：因为HH是封闭的，因此其中任意两个元素运算后仍落在HH中，因此H∘H⊆HH\circ H \subseteq H；因为HH中每个函数都有落在HH中的逆元，因此H−1⊆HH^{-1}\subseteq H。右推左：H∘H⊆HH\circ H \subseteq H意味着HH中的元素关于代数运算封闭；HH的结合律直接继承GG的结合律；对于任意h∈Hh\in H，因为H−1⊆HH^{-1}\subseteq H，因此h−1∈Hh^{-1}\in H，因此每个元素都在HH中有逆元，且h∘h−1h\circ h^{-1}就是单位元，它落在H∘HH\circ H中，因此也落在HH中。

事实上，上一段中的包含符号其实等价于等号。H∘H⊆H∧H−1⊆H  ⟺  H∘H=H∧H−1=HH\circ H \subseteq H \land H^{-1}\subseteq H\iff H\circ H=H\land H^{-1}=H。右推左显然。左推右，根据定义H∘H=⋃h∈Hh∘HH\circ H = \bigcup\limits_{h \in H}h\circ H，因此e∘H⊆H∘He\circ H \subseteq H\circ H。而e∘H=He\circ H=H，且H∘H⊆HH\circ H \subseteq H，因此H⊆H∘H⊆HH \subseteq H\circ H \subseteq H，因此H=H∘HH=H\circ H；已知H−1⊆HH^{-1}\subseteq H，根据逆元的唯一性两边同时取逆包含关系依然成立，因此(H−1)−1⊆H−1(H^{-1})^{-1}\subseteq H^{-1}，也即H⊆H−1H\subseteq H^{-1}，因此H−1⊆H⊆H−1H^{-1}\subseteq H \subseteq H^{-1}，因此H=H−1H=H^{-1}。

另一个子群的等价定义写作：H⪯G  ⟺  ∀a,b∈H,a∘b−1∈HH\preceq G \iff\forall a,b\in H,a\circ b^{-1}\in H。只需证明右推左，验证群的四个条件即可（结合律可以不用验证）：取a∈Ha\in H，有a∘a−1=e∈Ha\circ a^{-1}=e\in H，因此存在单位元；取e∈H,a∈He\in H,a\in H，有e∘a−1=a−1∈He\circ a^{-1} = a^{-1}\in H，因此存在逆元；取a∈H,b∈Ha\in H,b\in H，则b−1∈Hb^{-1}\in H，因此有a∘(b−1)−1=a∘b∈Ha\circ (b^{-1})^{-1}=a\circ b \in H，因此封闭。同理也可以证明该定义等价于∀a,b∈H,a−1∘b∈H\forall a,b \in H,a^{-1}\circ b \in H。这通常是我们验证子群时最常用的等价定义。

子群的交与并

容易证明，如果H1,H2⪯GH_1,H_2\preceq G，那么H1∩H2⪯GH_1\cap H_2 \preceq G。验证四条性质即可。

设H1,H2⪯GH_1,H_2\preceq G，如果H1⊆H2H_1\subseteq H_2或H2⊆H1H_2\subseteq H_1，那么显然H1∪H2⪯GH_1\cup H_2\preceq G。现在我们要证明，如果不存在这样的包含关系，即存在h1∈H1∧h1∉H2h_1 \in H_1\land h_1 \not\in H_2且h2∈H2∧h2∉H1h_2 \in H_2\land h_2 \not\in H_1，那么一定有H1∪H2⪯̸GH_1\cup H_2 \not \preceq G。证明如下：假设H1∪H2⪯GH_1\cup H_2 \preceq G，那么一定有h1∘h2∈H1∪H2h_1\circ h_2 \in H_1\cup H_2。如果h1∘h2∈H1h_1 \circ h_2 \in H_1，也即存在h1′∈H1h_1'\in H_1使得h1∘h2=h1′h_1\circ h_2=h_1'，那么h2=h1′∘h1−1h_2=h_1'\circ h_1^{-1}，而h1′∈H1h_1' \in H_1，h1−1∈H1h_1^{-1}\in H_1，因此h2=h1′∘h1−1∈H1h_2=h_1'\circ h_1^{-1} \in H_1，矛盾；同理h1∘h2∈H2h_1\circ h_2 \in H_2也不成立，因此H1∪H2⪯̸GH_1\cup H_2\not\preceq G。

循环群(Cyclic Group)

生成子群

对于任意群GG的非空子集AA，定义⟨A⟩=⋂i∈IHi\lang A\rang =\bigcap\limits_{i \in I}H_i，其中HiH_i是所有包含AA的GG的子群。因为子群的交依然是子群，因此⟨A⟩\lang A\rang是子群。我们称⟨A⟩\lang A\rang是由AA生成的子群，因为容易发现⟨A⟩\lang A\rang一定是包含AA的最小子群（最小指不存在一个真子群包含AA，因为如果存在这样的真子群它一定是某个HiH_i，所以⟨A⟩⊆Hi⊊⟨A⟩\lang A\rang\subseteq H_i\subsetneq \lang A\rang的真子集，矛盾）。

容易证明，⟨A⟩={x1∘x2∘⋯∘xn∣n∈N,xi∈A∪A−1}\lang A\rang=\{x_1\circ x_2\circ \cdots\circ x_n\mid n\in \N,x_i\in A\cup A^{-1}\}（右边的每个元素都必须落在包含AA的子群中，不然就不封闭。而利用子群的最后一个等价定义a∘b−1a\circ b^{-1}，右边是子群，因此这就是最小的子群了）。也就是说，由AA生成的子群恰好是所有由AA与A−1A^{-1}中元素运算得到的全部元素。

循环群的定义

我们特别关注由单个元素生成的子群。我们把⟨{a}⟩\lang \{a\}\rang简记为⟨a⟩\lang a\rang，这样由单个元素生成的群称为循环群。从定义来看，我们并没有定义任何与“循环”有关的性质，但通过分析我们会发现，正是生成子群的性质产生了循环的性质。根据⟨A⟩={x1∘x2∘⋯∘xn∣n∈N,xi∈A∪A−1}\lang A\rang=\{x_1\circ x_2\circ \cdots\circ x_n\mid n\in \N,x_i\in A\cup A^{-1}\}这一性质，我们立即得到⟨a⟩={an∣n∈Z}\lang a\rang=\{a^n\mid n \in \Z\}，也就是说循环群一定能写成生成元aa的任意整数次幂的集合的形式。此时有两种情况，要么所有的ana^n都互不相同，这样我们就得到了一个无限的群{⋯ ,a−2,a−1,a0,a1,a2,⋯ }\{\cdots,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\cdots\}，这里依然没有看到循环的性质。但只要存在i≠ji\neq j使得ai=aja^i=a^j，循环就产生了——根据消去律，我们得到ai−j=e=a0a^{i-j}=e=a^0，那么每经过i−ji-j轮群的元素就会完全重叠，产生“循环”。如果我们找到最相邻的i,ji,j使得ai=aja^i=a^j，记i−j=ni-j=n，那么循环群就可以表示为{1,a,a2,⋯ ,an−1}\{1,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}。（由于i,ji,j是最相邻的，因此这nn个元素必定互不相同。）循环群总是只有以上两种形式，因为这两者只是生成元素中有没有重复产生的差别。

容易验证，无限循环群{⋯ ,a−2,a−1,a0,a1,a2,⋯ }\{\cdots,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\cdots\}与(Z,+)(\Z,+)同构，只需令ai→ia^i\to i；有限循环群{1,a,a2,⋯ ,an−1}\{1,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}与(Zn,+mod n)(\Z_n,+_{\text{mod }n})同构，同样令ai→ia^i\to i。

循环群的阶

对于有限循环群{1,a,a2,⋯ ,an−1}\{1,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}，我们知道aa一定是它的一个生成元。现在要问，是否还存在别的生成元？

我们定义，对于g∈Gg\in G，使得gk=1g^k=1的最小正整数kk称为元素gg的阶(order)，记为∣g∣=k|g|=k或ord(g)=k\text{ord} (g)=k（这个定义对于非循环群也适用）。如果不存在这样的正整数，则称阶为无穷大。

我们注意到，如果∣g∣=t|g|=t，则一定有ord(gs)=tgcd(t,s)\text{ord}(g^s)=\dfrac{t}{gcd(t,s)}：Pf. (gs)tgcd(t,s)=(gt)sgcd(t,s)(g^s)^{\frac{t}{gcd(t,s)}}=(g^t)^{\frac{s}{gcd(t,s)}}，而gt=1g^t=1，因此(gt)sgcd(t,s)=1(g^t)^{\frac{s}{gcd(t,s)}}=1；而假设ord(gs)=m\text{ord}(g^s)=m，那么gsm=1g^{sm}=1，因此一定有t∣smt\mid sm。记t=gcd(t,s)⋅t′,s=gcd(t,s)⋅s′t=gcd(t,s)\cdot t',s=gcd(t,s)\cdot s'，则gcd(t′,s′)=1gcd(t',s')=1，所以t′∣s′mt'\mid s'm，那么只能是t′∣mt'\mid m，也即tgcd(t,s)∣m\dfrac{t}{gcd(t,s)}\mid m，这说明tgcd(t,s)\dfrac{t}{gcd(t,s)}已经是最小的能使得gm=1g^m=1的mm了。Qed.

现在我们已知aa是⟨a⟩\lang a\rang的生成元，因此ord(a)=n\text{ord}(a)=n，对于任意的aka^k如果它也是生成元，当且仅当ord(ak)=n\text{ord}(a^k)=n。而我们已经证明了ord(ak)=ngcd(n,k)\text{ord}(a^k)=\dfrac{n}{gcd(n,k)}，因此当且仅当gcd(n,k)=1gcd(n,k)=1时aka^k也是生成元。这就得到了，⟨a⟩\lang a\rang共有φ(n)\varphi(n)（欧拉函数）个生成元，分别是以所有与nn互质的数作为指数的那些元素。

关于阶还有另一个有用的结论。设ord(a)=n,ord(b)=m\text{ord} (a)=n,\text{ord}(b)=m，如果ab=baab=ba，gcd⁡(n,m)=1\gcd(n,m)=1，那么有ord(ab)=nm\text{ord}(ab)=nm。Pf. 设ord(ab)=r\text{ord}(ab)=r，那么arm=arm(bm)r=(ab)rm=1a^{rm}=a^{rm}(b^m)^r=(ab)^{rm}=1，因此n∣rmn\mid rm。而n,mn,m互素，因此n∣rn\mid r。对称地，也有m∣rm\mid r。因此lcm(n,m)∣r\text{lcm}(n,m)\mid r，因此nm∣rnm\mid r。而(ab)nm=anmbnm=1(ab)^{nm}=a^{nm}b^{nm}=1。综上，r=nmr=nm。Qed.

注意，如果ord(gt)=k\text{ord}(g^t)=k，自然意味着⟨gt⟩\lang g^t\rang中有且仅有kk个元素。也即，循环群中元素的阶等于该元素生成的循环群的大小。我们经常把循环群的大小也称为循环群的阶。

循环群的子群

循环群的子群一定也是循环群。对于循环群GG，可以写作G={gk∣k∈Z}G=\{g^k\mid k \in \Z\}。对于H⪯GH\preceq G，可以记为H={gi1,gi2,⋯ }H=\{g^{i_1},g^{i_2},\cdots\}。对于∣H∣=1|H|=1，显然；否则∣H∣≥2|H|\geq 2，我们总能在gijg^{i_j}中找到一个绝对值最小且不为零的整数ii。容易发现，一定成立H=⟨gi⟩H=\lang g^i\rang：首先，我们有⟨gi⟩⊆H\lang g^i\rang\subseteq H，因为⟨gi⟩\lang g^i\rang定义为GG中所有包含gig^i的子群的交，而HH就是这样的子群，因此肯定被交在内；其次，∀gij∈H\forall g^{i_j}\in H，可以写出商式ij=qi+ri_j=qi+r，那么gij=gqi⋅grg^{i_j}=g^{qi}\cdot g^r。也即gij−qi=grg^{i_j-qi}=g^r。因为HH具有封闭性，而gij,gi∈Hg^{i_j},g^i\in H，因此有gij−qi∈Hg^{i_j-qi}\in H，也即gr∈Hg^r\in H。而rr的绝对值小于ii，所以必须为0（如果不为0，则与ii的绝对值最小矛盾）。因此任何iji_j都一定是ii的倍数，这说明H⊆⟨gi⟩H\subseteq \lang g^i\rang。综上，H=⟨gi⟩H=\lang g^i\rang。

无限循环群的子群全都是循环群，而每个循环群又必须是由群中的某个元素生成的，所以对于无限循环群G={gk∣k∈Z}G=\{g^k\mid k\in \Z\}，我们只需在{⟨gk⟩∣k∈Z}\{\lang g^k\rang\mid k \in \Z\}中剔除重复的群就得到了GG的所有子群。显然，∀k\forall k，⟨gk⟩=⟨g−k⟩\lang g^k\rang=\lang g^{-k}\rang。而∀i>j≥0\forall i> j\geq 0，一定有⟨gi⟩≠⟨gj⟩\lang g^i\rang\neq \lang g^j\rang，因为gj∉⟨gi⟩g^j\not \in\lang g^i\rang。综上，无限循环群GG的所有子群就恰好是{⟨gd⟩∣d∈N}\{\lang g^d\rang\mid d\in \N\}，对于每个dd两两互不相同。

对于有限循环群G={1,g,⋯ ,gn−1}G=\{1,g,\cdots,g^{n-1}\}，为了写出GG的所有不同子群，我们也只需要枚举每个元素作为生成元，再去除重复的即可。如何去除重复的呢？我们发现，对于gsg^s，一定有⟨gs⟩=⟨ggcd(n,s)⟩\lang g^s\rang=\lang g^{gcd(n,s)}\rang。记d=gcd(n,s)d=gcd(n,s)，根据d∣sd\mid s，那么gs∈⟨gd⟩g^s \in \lang g^d\rang，因此⟨gs⟩⊆⟨gd⟩\lang g^s\rang\subseteq \lang g^d\rang；而∣⟨gs⟩∣=ord(gs)=ngcd(n,s)=nd|\lang g^s\rang|=\text{ord}(g^s)=\dfrac{n}{gcd(n,s)}=\dfrac{n}{d}，∣⟨gd⟩∣=ord(gd)=ngcd(n,d)=nd|\lang g^d\rang|=\text{ord}(g^d)=\dfrac{n}{gcd(n,d)}=\dfrac{n}{d}。综上，⟨gs⟩⊆⟨gd⟩\lang g^s\rang\subseteq \lang g^d\rang且∣⟨gs⟩∣=∣⟨gd⟩∣|\lang g^s\rang|=|\lang g^d\rang|，因此⟨gs⟩=⟨gd⟩\lang g^s\rang=\lang g^d\rang。所以对于0<s<n0<s<n，如果ss不是nn的因子，那么⟨gs⟩\lang g^s\rang就一定与⟨ggcd(n,s)⟩\lang g^{gcd(n,s)}\rang重复。而对于任何s∣ns\mid n，∣⟨gs⟩∣=ns|\lang g^s\rang|=\dfrac{n}{s}，也即⟨gs⟩\lang g^s\rang互不相同。因此有限群GG的所有子群就可以两两不同地表示为{⟨gs⟩∣0≤s<n,s∣n}\{\lang g^s\rang\mid 0\leq s < n,s\mid n\}。

对称群(Symmetric Group)和变换群(Group of Transformation)

对于非空集合MM，把所有MM到MM的双射收集到集合T(M)T(M)。定义运算∘\circ表示T(M)T(M)中一个双射与另一个双射的复合，那么可以验证(T(M),∘)(T(M),\circ)构成了一个群。只需验证四个条件：双射复合双射依然是双射，封闭性成立；映射的复合满足结合律；存在单位元为恒等映射；存在逆元为逆映射。我们称群(T(M),∘)(T(M),\circ)为MM的对称群，称MM的对称群的子群为MM的变换群。

下面我们讨论几种特殊的对称群。

平面的运动群

平面R2\R^2上有一种称为保距变换的特殊双射，任意两点间的欧氏距离在映射前后都保持不变。可以证明，这样的变换只有三种基本的几何形式，分别是平移、旋转和沿轴做对称。我们称这种保距变换为“运动”，记R2\R^2上所有的运动为集合M(R2)M(\R^2)。显然，M(R2)M(\R^2)是对称群T(R2)T(\R^2)的子集。我们可以进一步验证它构成群，也即平面的运动群是平面的一个变换群：两个运动的复合依然是运动，因为仍然保矩，故封闭性成立；结合律继承平面对称群的结合律；恒等映射是保矩的，因此存在单位元；逆映射也是运动，因此存在逆元。综上，(M(R2),∘)(M(\R^2),\circ)构成群。

称R2\R^2的一个子集为平面上的一个图形，记为KK。如果KK经过运动后恰好完全与原来的自身重合，我们就把这样的运动收集进集合S(K)S(K)。用同样的方法可以验证，(S(K),∘)(S(K),\circ)也构成群，称为图形KK的对称群。容易发现，一个图形的对称群规模越大，说明图形的对称性越好。例如可以证明，正三角形的对称群大小为66，正方形的对称群大小为88，而圆的对称群为无限群。

数环与数域

前置知识：环与域的定义，同构的定义

对于域F\mathbb{F}，取所有F→F\mathbb{F} \to\mathbb{F}的（自）同构映射ϕ\phi构成集合Aut(F)Aut(\mathbb{F})，容易发现Aut(F)Aut(\mathbb{F})是F\mathbb{F}的对称群T(F)T(\mathbb{F})的子集。容易进一步验证，Aut(F)Aut(\mathbb{F})是满足封闭、结合律、单位元和逆元的，因此(Aut(F),∘)(Aut(\mathbb{F}),\circ)实际上构成了(T(F),∘)(T(\mathbb{F}),\circ)的一个子群，也即(Aut(F),∘)(Aut(\mathbb{F}),\circ)是F\mathbb{F}上的变换群。这个群就称为F\mathbb{F}的自同构群。

我们关注的是F\mathbb{F}上不同的自同构映射ϕ\phi的个数，也即自同构群的大小。自同构群的大小能够反应域F\mathbb{F}的“对称性”，因为域的自同构映射要求的实际上是域对加减乘除四则运算在结构上的保持，使得自同构成立的ϕ\phi越多，说明域F\mathbb{F}的各个元素的特殊性越弱。

根据自同构的定义，对于任意满足要求的ϕ\phi，一定成立：ϕ(0)=0\phi(0)=0；ϕ(1)=1\phi(1)=1；ϕ(−x)=−ϕ(x)\phi(-x)=-\phi(x)；ϕ(x−y)=ϕ(x)−ϕ(y)\phi(x-y)=\phi(x)-\phi(y)；∀x≠0,ϕ(x−1)=ϕ(x)−1\forall x\neq 0,\phi(x^{-1})=\phi(x)^{-1}。

取F\mathbb{F}为有理数域\Q\Q，一定成立∀n∈N\forall n\in\N，ϕ(n)=n\phi(n)=n。进一步ϕ(−n)=−ϕ(n)=−n\phi(-n)=-\phi(n)=-n，ϕ(1/n)=n−1=1/n\phi(1/n)=n^{-1}=1/n，ϕ(m/n)=m/n\phi(m/n)=m/n。因此Aut(\Q)Aut(\Q)中只有恒等映射一个元素，可见有理数域的没有任何对称性。对于数域\Q(2)={a+b2∣a,b∈\Q}\Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \Q\}，按照相同的推导，所有有理数上的映射只能到自身。对于ϕ(a+b2)\phi(a+b\sqrt{2})，它必须等于a+bϕ(2)a+b\phi(\sqrt{2})。而对于ϕ(2)\phi(\sqrt{2})，必然满足ϕ(2)=ϕ(2)2\phi(2)=\phi(\sqrt{2})^2，因此只能有ϕ(2)=±2\phi(\sqrt{2})=\pm \sqrt{2}。可以验证，这两种取值都是可行的。因此\Q(2)\Q(\sqrt{2})的自同构群有两个元素，它的对称性略好于\Q\Q。同理，\Q(2,3)={a+b2+c3+d23}\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{2}\sqrt{3}\}的自同构群有44个元素，分别是ϕ(2)=±2\phi(\sqrt{2})=\pm\sqrt{2}与ϕ(3)=±3\phi(\sqrt{3})=\pm\sqrt{3}（事实上，是一个大小为4的非循环群），它的对称性又略好于\Q(2)\Q(\sqrt{2})。

对于域E\mathbb{E}，取E\mathbb{E}的子集F\mathbb{F}，定义Aut(E:F)={ϕ∈Aut(E)∣∀x∈F,ϕ(x)=x}Aut(\mathbb{E}:\mathbb{F})=\{\phi\in Aut(\mathbb{E})\mid \forall x\in\mathbb{F},\phi(x)=x\}。这称为E\mathbb{E}在F\mathbb{F}上的对称群，其中的映射在E\mathbb{E}上自同构，还要求在F\mathbb{F}上保持恒等。刚才我们实际上已经验证了，Aut(\Q(2):\Q)=Aut(\Q(2))Aut(\Q(\sqrt{2}):\Q)=Aut(\Q(\sqrt{2}))。

对称多项式

一个数域F\mathbb{F}上的nn元多项式可以记为f(x1,⋯ ,xn)=∑αaαx1α1⋯xnαnf(x_1,\cdots,x_n)=\sum\limits_{\alpha}a_\alpha x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}，其中α1,⋯ ,αn\alpha_1,\cdots,\alpha_n取正整数，aαa_\alpha取F\mathbb{F}中的元素。记F\mathbb{F}上所有可能的nn元多项式全体为集合F[x1,⋯ ,xn]\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]。系数决定了一个多项式的特性，因为我们总是可以把各个项按照指数的某种规律排列整齐的。而系数的选择可以是F\mathbb{F}中的所有元素。F[x1,⋯ ,xn]\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]中有无穷多个元素，因此自然T(F[x1,⋯ ,xn])T(\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n])中也有无穷多个双射。

对于nn个元素的集合M={x1,⋯ ,xn}M=\{x_1,\cdots,x_n\}，它对应的双射集合T(M)T(M)中恰好共有n!n!个双射，也即MM的对称群大小为n!n!。这个群里的任何一个双射本质上对应着一个nn阶的permutation。对于每一个permutation σ=(i1,i2,⋯ ,in)\sigma=(i_1,i_2,\cdots,i_n)，我们都可以构造一个nn元多项式的映射ϕσ:f(x1,⋯ ,xn)→f(xi1,⋯ ,xin)\phi_\sigma:f(x_1,\cdots,x_n)\to f(x_{i_1},\cdots,x_{i_n})。我们发现，ϕσ\phi_\sigma是F[x1,⋯ ,xn]\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]上的一个双射（又是单射，又是满射）。如果把所有可能的σ\sigma对应的双射ϕσ\phi_\sigma收集起来，我们就得到了T(F[x1,⋯ ,xn])T(\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n])的一个子集，并且我们可以进一步验证对于Tn={ϕσi}T_n=\{\phi_{\sigma_i}\}，(Tn,∘)(T_n,\circ)是一个群（封闭，结合律，单位元，逆元）。也即我们找到了一个F[x1,⋯ ,xn]\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]上的变换群（对称群的子群），称为F[x1,⋯ ,xn]\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]的nn元对称群。

对于F[x1,⋯ ,xn]\mathbb{F}[x_1,\cdots,x_n]的一个多项式ff，定义Sf={ϕσ∈Tn∣ϕσ(f)=f}S_f=\{\phi_{\sigma}\in T_n\mid \phi_\sigma(f)=f\}，也即经过变元的轮换后保持多项式完全不变的映射集合。我们容易发现(Sf,∘)(S_f,\circ)也是群，这称为多项式f(x1,⋯ ,xn)f(x_1,\cdots,x_n)的对称群。我们容易把多项式的对称群与平面图形的对称群类比，对称一词本质上描述的是在某种变化下的不变性。多项式的对称群描述了变元的轮换下多项式保持不变的性质。

Cayley's Theorem

任何一个群(G,⋅)(G,\cdot)作为集合GG都有对应的对称群T(G)T(G)。Cayley定理指出，总是存在一个T(G)T(G)的子群（即GG的某个变换群）与GG同构。

如何来构造这个子群呢？首先这个子群应当与GG有双射。我们在验证群上的消去律的时候提到过群中元素的左乘会引发双射。我们依次取GG中的每个元素g∈Gg\in G，构造双射ψg:x→g⋅x\psi_g:x\to g\cdot x。把所有的ψg\psi_g收集到一起构成集合U={ψg∣g∈G}U=\{\psi_g\mid g\in G\}，UU是T(G)T(G)的一个子集。现在，构造GG与UU的映射f:g→ψgf:g\to \psi_g。注意到ff是单射，因为假如ψg=ψh\psi_g=\psi_h，说明对任意的xx都有g⋅x=h⋅xg\cdot x=h\cdot x，根据右消去律得到g=hg=h。同时，ff是满射，因为任何一个ψg\psi_g都是由g∈Gg\in G引发的。综上，ff是双射。并且ff保持运算：f(g1⋅g2)=ψg1⋅g2=ψg1∘ψg2f(g_1\cdot g_2)=\psi_{g_1\cdot g_2}=\psi_{g_1}\circ \psi_{g_2}。综上，(G,⋅)≅(U,∘)(G,\cdot)\cong (U,\circ)。可见，(U,∘)(U,\circ)就是我们要找的同构的变换群。（这里我们可以根据定义验证群的四个条件证明(U,∘)(U,\circ)是群，也可以由同态的左子群右子群性质直接得到）

置换群(Permutation Groups)

集合{1,2,⋯ ,n}\{1,2,\cdots,n\}的对称群就是所有nn阶permutation构成的群。我们把它记为SnS_n，它的大小为n!n!。我们把SnS_n的子群称为置换群。由于我们总可以把任何有限群都看作是集合{1,2,⋯ ,n}\{1,2,\cdots,n\}，而根据Cayley定理，任何一个群都与其对称群的一个子群同构。那么我们总可以说，任何一个nn阶有限群都与一个nn阶置换群同构。因此研究置换群就是在研究所有有限群的结构。

排列的不相交轮换分解

对于任何一个nn阶permutation π=(i1,i2,⋯ ,in)\pi=(i_1,i_2,\cdots,i_n)，我们总是可以把它拆解为若干个轮换(cycles)。从某个元素ii出发，i,π(i),π(π(i)),⋯i,\pi(i),\pi(\pi(i)),\cdots，最后总会回到起点ii，因为我们总共只有nn个互不相同的元素。这样，任何一个permutation本质上就可以写作若干个不相交的轮换，例如3 5 4 1 2 63 \ 5\ 4\ 1\ 2\ 6就可以写作(1,3,4)(2,5)(6)(1,3,4)(2,5)(6)：从第一个位置出发，我们发现33占据了原本11所在的位置，那么我们继续寻找谁占了33的位置，发现是44，而占据44的恰好是最先的11。这样(1,3,4)(1,3,4)这三个位置上恰好是后一个顶替前一个做了一个平移。剔除这三个位置以后，我们继续寻找别的这样的cycle。最终一个permutation一定会被分解成若干个互不相交的cycle。由此可见，轮换实际上是permutation的另一种表示法。大小为偶数的轮换称为偶轮换(even cycle)，大小为奇数的轮换称为奇轮换(odd cycle)，大小为2的轮换称为一个对换(transposition)。（轮换的大小就是一个轮换中不同元素的个数，例如(1,3,4)(1,3,4)的大小为3）

我们不关心每个轮换的起点是什么，每个轮换的起点可以是任意的，而起点一旦确定轮换中的排列顺序也随之确定。对于不相交的轮换，我们也不在意不同轮换的先后顺序，因为各个轮换是独立的。在忽略了起点与轮换的顺序后，我们可以说轮换的分解方式是唯一的。

在轮换的分解中，我们总可以忽略大小为1的轮换。进而，如果一个permutation π\pi分解后只留下一个大小为rr的轮换σ\sigma（忽略了所有大小为1的以后），那么σ\sigma与自身复合rr次就相当于恒等映射，因为这相当于沿着cycle转了一整圈回到了初始的地方。并且这是能够使得映射回到自身的所需要的最小的复合次数。仿照循环群中的记号，我们称permutation π\pi的阶(order)（或轮换σ\sigma的阶）为rr，记为ord(π)=ord(σ)=r\text{ord}(\pi)=\text{ord}(\sigma)=r。更一般的，如果一个permutation π\pi被分解为了tt个不相交的轮换σ1⋯σt\sigma_1\cdots \sigma_t，那么总是成立ord(π)=lcm(ord(σ1),⋯ ,ord(σt))\text{ord}(\pi)=\text{lcm}(\text{ord}(\sigma_1),\cdots,\text{ord}(\sigma_t))，因为只有到轮转的次数到达所有轮换的最小公倍数时排列才会第一次回到自身。

允许相交的轮换分解

我们可以这样来更广义地理解轮换的分解：每一个轮换就好像作用在permutation上的一个变换（映射），因此我们规定总是从右到左依次作用轮换的变换（顺着轮换走一步），就好像映射的复合一样。容易发现，在轮换不相交时我们用这样的方式来理解permutation总是正确的。在一原始排列的基础上，我们从右到左依次顺着每个轮换走一步，从效果上就相当于完成了一次permutation。这种复合的效果对于多个permutation的复合也是满足的，当两个permutation复合时，我们先做一遍右边的permutation，再做一遍左边的permutation。进一步，如果两个permutation都分别写成不相交的轮换分解的乘积的形式，我们只需要从右到左依次做所有的轮换即可。在这样的定义下，我们可以允许轮换之间有元素相交了。

我们发现，任何一个轮换总可以拆解成一系列对换的复合：(i1 i2 ⋯ in)=(i1 i2)⋯(in−1 in)(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_n)=(i_1 \ i_2) \cdots (i_{n-1} \ i_n)。因为左边描述了i2i_2落在原本i1i_1的位置上，i3i_3落在原本i2i_2的位置上，...，ini_n落在原本in−1i_{n-1}的位置上，i1i_1落在原本ini_n的位置上这一过程。在右边的过程中，最先发生的是(in−1,in)(i_{n-1},i_n)，此后再也没有人与ini_n对换，因此最终ini_n一定落在原本in−1i_{n-1}的位置上不动；接着，in−1i_{n-1}会落在原本in−2i_{n-2}的位置上，此后也再也不发生变化……以此类推，in,⋯ ,i2i_n,\cdots,i_2都将落在正确的位置上，最后的一个位置留给i1i_1，这只能是正确的位置。对于恒等映射，它也可以写成一些无意义的对换(1 2)(1 2)(1 \ 2)(1 \ 2)等等。由此可以看到，任何一个permutation都可以写成一系列轮换的复合。

我们总是可以给出以下等价的轮换分解：(k a ⋯ b l c ⋯ d)=(k l)(k a ⋯ b)(l c ⋯ d)(k \ a \ \cdots \ b \ l \ c \ \cdots \ d)=(k \ l)(k \ a \ \cdots \ b)(l \ c \ \cdots \ d)（不同的字母代表不同的元素）。因为根据我们的轮换复合规则，首先在(l c ⋯ d)(l \ c \ \cdots \ d)与(k a ⋯ b)(k \ a \ \cdots \ b)中独立地进行一步轮转，而后对换此时位于各自末尾的k,lk,l，恰好等价于依照(k a ⋯ b l c ⋯ d)(k \ a \ \cdots \ b \ l \ c \ \cdots \ d)进行了一步轮转。反之，(k l)(k a ⋯ b l c ⋯ d)=(k a ⋯ b)(l c ⋯ d)(k \ l)(k \ a \ \cdots \ b \ l \ c \ \cdots \ d)=(k \ a \ \cdots \ b)(l \ c \ \cdots \ d)，因为对前后两部分分别做一步轮转相当于整体做一步轮转再对换各自的开头。

奇置换与偶置换

根据允许相交的轮换分解的规则，我们总可以把一个大的轮换拆分成小的轮换，直到所有轮换的大小都是2。而在上一段讨论的两条拆分规则中，第一条使得总的轮换个数增加了2，第二条没有改变总的轮换个数。换言之，只要我们只运用以上两条规则来拆分轮换（并且我们总是可以进行到最后全都只剩下对换这一步），那么轮换个数的奇偶性一定不变。那么，既然任何一个permutation都可以写成一系列对换的复合，那么是不是所有可能的对换分解中对换个数的奇偶性总是唯一的？从拆分的角度我们并不能直观保证能拆分出所有可能的对换分解，因此我们从复合的角度严格地证明这一事实。

Pf. 设一个nn阶permutation σ\sigma有不相交的轮换分解σ=τ1τ2⋯τs\sigma=\tau_1\tau_2\cdots\tau_s（包含大小为1的轮换），由于这样的分解是唯一的，我们可以定义函数f(σ)=(−1)n−sf(\sigma)=(-1)^{n-s}，它是一个奇偶计数器，表示一个permutation在经过不相交的轮换分解后轮换个数的奇偶性（这个函数是良定义的，它是从permutation出发的映射，而不是某个轮换分解出发的映射。ff是permutation本身的性质）。下面我们证明f((a b)σ)=(−1)f(σ)f((a \ b)\sigma)=(-1)f(\sigma)。由于τ1,⋯ ,τs\tau_1,\cdots,\tau_s中已经包含了[n][n]中所有元素，因此只需分两类讨论：a,ba,b在同一个τ\tau中，或分散在两个τ\tau中。对于前者，不妨设a,b∈τ1a,b\in \tau_1（因为τ\tau中的分解不相交因此可以交换顺序），此时可以记τ1=(a c1 ⋯ck b d1⋯dh),k,h≥0\tau_1=(a \ c_1 \ \cdots c_k \ b \ d_1 \cdots d_h),k,h\geq 0，那么有等价分解τ1=(a b)(a c1 ⋯ ck)(b d1 ⋯ dh)\tau_1=(a \ b)(a \ c_1 \ \cdots \ c_k)(b \ d_1 \ \cdots \ d_h)。于是在(a b)σ(a \ b)\sigma中，(a,b)(a,b)经过两次复合约去，余下的轮换互不相交，而相比原来恰好多出了一个轮换，因此要乘上因子−1-1；若a,ba,b分散在两个轮换中，我们类似地套用第二条分解规则，记τ1=(a c1 ⋯ ck)\tau_1=(a \ c_1 \ \cdots \ c_k)，τ2=(b d1 ⋯ dh)\tau_2=(b \ d_1 \ \cdots \ d_h)，于是(a b)τ1τ2=(a c1 ⋯ck b d1⋯dh)(a \ b)\tau_1\tau_2=(a \ c_1 \ \cdots c_k \ b \ d_1 \cdots d_h)，余下的依然是互不相交的完整轮换，相比原来少了一个，因此也要乘上因子−1-1。现在我们证明了，在复合一个对换后，permutation在唯一分解后轮换个数的奇偶性总会变化。因此假若一个permutation被以任何方式分解为（从恒等映射出发的）一系列对换的复合，其ff的值一定只取决于对换的个数。而ff的值又是唯一被permutation本身决定的，因此我们证明了任何方式用对换复合而成的permutation中，对换个数的奇偶性一定是唯一确定的。 Qed.

由此可见，对换分解后对换的个数是permutation本身的性质！我们把对换个数为偶数的permutation称为偶置换，把对换个数为奇数的permutation称为奇置换。

我们发现，偶置换在不相交的轮换分解中必定只有偶数个偶轮换。假如它有奇数个偶轮换，那么由于每个偶轮换都能运用(i1 i2 ⋯ in)=(i1 i2)⋯(in−1 in)(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_n)=(i_1 \ i_2) \cdots (i_{n-1} \ i_n)这种分解方式分解成奇数个对换，而每个奇轮换都会被分解成偶数个对换，最终对换的个数将会是奇数；同理，奇置换的不相交轮换分解中只能由奇数个偶轮换。反过来，如果一个置换有偶数个偶轮换，运用(i1 i2 ⋯ in)=(i1 i2)⋯(in−1 in)(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_n)=(i_1 \ i_2) \cdots (i_{n-1} \ i_n)这种分解方式所有偶轮换都能被写成奇数个对换，所有奇置换都能被写成偶数个对换，而对换个数的奇偶性永远是唯一的，因此它是一个偶置换；同理，奇数个偶轮换的置换一定是奇置换。所以我们证明了，偶置换等价于不相交轮换分解中（包括大小为1的轮换）有偶数个偶轮换，奇置换等价于不相交轮换分解中有奇数个偶轮换。

容易验证，两个奇偶性相同的置换复合得到偶置换，奇偶性不同的两个置换复合得到奇置换。因为把二者各自的对换分解从右到左合并到一起我们就得到了一个复合后的置换的对换分解，因此置换的奇偶就转化为了对换的奇偶，满足奇偶运算的规律。

交错群(Alternating Group)

对于nn阶对称群SnS_n，其中所有的偶置换构成子群（一个置换群！）AnA_n，群的运算是映射的复合。因为偶置换与偶置换的复合依然是偶置换，满足封闭性；结合律与单位元显然；偶置换的逆变换依然是偶置换，只需把轮换反向进行，并不改变对换的奇偶性。我们把AnA_n称为nn阶交错群。

我们进一步发现，∣An∣=n!2|A_n|=\dfrac{n!}{2}，也即偶置换与奇置换的数量总是相同的：我们任取一个唯一轮换分解中只包含一个对换的permutation，比如取(1,2)∈Sn(1,2)\in S_n。我们知道群中特定元素做左乘构成一个双射，因此f:σ→(1,2)∘σf:\sigma\to (1,2)\circ \sigma构成了一个SnS_n到SnS_n的双射。而根据奇偶置换的唯一性，这样的映射一定把每个偶置换映射为了奇置换，而把每个奇置换映射为了偶置换。所以奇偶置换势必有着相同的数量。