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03 自旋

DennyQi · May 16, 2025 · 16 min read

自旋(Spin)

我们接下来描述的问题称为“角动量量子化”。实验证明大部分粒子都拥有一种和运动无关的先天角动量，我们把它称为“自旋”。自旋不能取任何连续的实数，而总是以整数或半整数的倍数出现。费米子的自旋为半整数，玻色子的自旋为整数。已发现的粒子中，自旋为整数的最大自旋为4；自旋为半整数的最大自旋为3/2。

角动量是经典力学中的概念，我们现在希望不要类比经典力学而是从量子力学本身来讨论这个问题，所以我们避免使用角动量这个词语。

当原子束通过一个非均匀磁场的时候会分裂成好几束，我们用（改进的）Stern-Gerlach装置使得原子束先分散成好几束最后再汇聚到一起。如果我们在第一个装置的中间用挡板使得只有其中一束通过，那么通过的这一束再通过一个一模一样的Stern-Gerlach装置时就不会再分散成多束而是这有与第一个装置中一样的一束。这就是一个Stern-Gerlach过滤器。通过过滤，我们得到了纯化了的原子。每一束过滤出来的原子不能再被过滤，因此我们称每一束纯化的原子是一个基础态(base states)。不同自旋的原子基础态数量不同。自旋为1的原子有3个基础态，它在通过一个Stern-Gerlach装置时分裂成三束。而自旋为1/2的原子只有2个基础态。我们以自旋为1的粒子为例展开讨论，之后再把结果推广到一般情况。

我们把自旋为1的粒子的三束射线记为三个基础态+,0,−+,0,-。在SS装置中挡住0,−0,-的射线，通过SS后的粒子就处在+S+S态中。0S,−S0S,-S以此类推。现在把两个SS装置串联，实验结果显示如果在第一个装置只允许++粒子束通过，那么当第二个装置也只允许++通过时所有进入第二个装置的粒子都能通过，而如果第二个装置只允许00（或−-）则所有粒子都不能通过。我们用概率幅记为⟨+S∣+S⟩=1\lang +S\mid +S\rang=1，而⟨+S∣0S⟩=⟨+S∣−S⟩=0\lang +S\mid 0S\rang=\lang +S\mid-S\rang=0。第一个装置为0S,−S0S,-S的情况也是类似的，这样我们就得到了一个矩阵，表明当两个相同的Stern-Gerlach装置串联时，只有当它们允许的基础态相同时粒子才能通过，否则粒子不能通过。这个现象是容易理解的，因为第一个装置对原子进行了过滤。现在要讨论这样一个重要的问题：如果把第二台装置倾斜一个角度， 使得磁场的轴线不再和第一个装置中的磁场平行（这里考虑的是装置在三维空间的旋转），结果会怎样变化。记转动后的第二个装置为TT，我们容易理解下面的实验结果：在第一个装置经过+S+S过滤后，通过TT以后+T,0T,−T+T,0T,-T的结果都存在，因为TT是一个全新的装置。问题在于，如果在TT之后再放一个与SS完全相同的没有经过旋转的装置（为了区分记为S′S'），那么在通过TT以后粒子是否还记得它在第一个装置时的状态？实验结果显示它丝毫不记得（如果是经典情况则粒子因为被过滤一定会记得之前的状态）。设定粒子已经通过+S,0T+S,0T，在S′S'中并不是所有粒子都会进入+S′+S'基础态，而是+S′,0S′,−S′+S',0S',-S'都有分布。通过概率幅的分析我们就能理解这一点：经过+S,0T,+S′+S,0T,+S'的概率为∣⟨+S′∣0T⟩⟨0T∣+S⟩∣2=∣⟨+S∣0T⟩∣2∣⟨0T∣+S⟩∣2|\lang +S'\mid 0T\rang\lang 0T\mid +S\rang|^2=|\lang +S\mid 0T\rang|^2|\lang 0T\mid +S\rang|^2，经过+S,0T,0S′+S,0T,0S'的概率为∣⟨0S′∣0T⟩⟨0T∣+S⟩∣2=∣⟨0S∣0T⟩∣2∣⟨0T∣+S⟩∣2|\lang 0S'\mid 0T\rang\lang 0T\mid +S\rang|^2=|\lang 0S\mid 0T\rang|^2|\lang 0T\mid +S\rang|^2，两者做比值会约掉历史信息∣⟨0T∣+S⟩∣2|\lang 0T\mid +S\rang|^2，得到比值∣⟨+S∣0T⟩∣2∣⟨0S∣0T⟩∣2\dfrac{|\lang +S\mid 0T\rang|^2}{|\lang 0S\mid 0T\rang|^2}。这显示了量子力学的一条基本原理：在任一给定的基础态中，粒子未来的行为只依赖于基础态的性质，而与任何历史信息无关。

现在我们把TT中所有的挡板拿掉， 实验显示这时通过S′S'的粒子又记忆起SS中的状态了：+S,T,+S+S,T,+S所有粒子都会通过，+S,T,0S+S,T,0S则所有粒子都不会通过。这是由于通过TT时发生了振幅的干涉：根据实验结果，⟨+S∣+T⟩⟨+T∣+S⟩+⟨+S∣0T⟩⟨0T∣+S⟩+⟨+S∣−T⟩⟨−T∣+S⟩=1\lang +S\mid +T\rang\lang+T\mid +S\rang+\lang +S\mid 0T\rang\lang0T\mid +S\rang+\lang +S\mid -T\rang\lang-T\mid +S\rang=1，⟨0S∣+T⟩⟨+T∣+S⟩+⟨0S∣0T⟩⟨0T∣+S⟩+⟨0S∣−T⟩⟨−T∣+S⟩=0\lang 0S\mid +T\rang\lang+T\mid +S\rang+\lang 0S\mid 0T\rang\lang0T\mid +S\rang+\lang 0S\mid -T\rang\lang-T\mid +S\rang=0，−S′-S'同理。也就是说，如果一个装置里所有的通道都打开，这个装置就好像不存在一样。这个实验结果可以推广为以下结论：对于任意的状态χ,ϕ\chi,\phi，总有⟨χ∣ϕ⟩=∑i⟨χ∣i⟩⟨i∣ϕ⟩\lang \chi\mid \phi\rang=\sum\limits_{i}\lang \chi\mid i\rang\lang i\mid \phi \rang，其中ii取遍所有基础态。

同时我们还得到对于基础态i,ji,j，除非i=ji=j时有⟨i∣j⟩=1\lang i\mid j\rang=1，否则一定有⟨i∣j⟩=0\lang i\mid j\rang=0。这个结果称为基础态的正交性，可以简记为⟨i∣j⟩=δij\lang i \mid j\rang=\delta_{ij}，其中δ\delta是单位矩阵。

在之前的实验中，假如对于串联的S,TS,T依次进行+S,+T+S,+T、+S,0T+S,0T、+S,−T+S,-T，那么是能够得到全部的通过+S+S的粒子的，也就是说我们有概率相加：∣⟨+T∣+S⟩∣2+∣⟨0T∣+S⟩∣2+∣⟨0T∣+S⟩∣2=1|\lang +T\mid +S\rang|^2+|\lang 0T\mid +S\rang|^2+|\lang 0T\mid +S\rang|^2=1。在复数中，模长平方等于复数与其自身的共轭复数（zz的共轭记为z∗z^*）的乘积，那么上式等价于⟨+T∣+S⟩⟨+T∣+S⟩∗+⟨0T∣+S⟩⟨0T∣+S⟩∗+⟨−T∣+S⟩⟨−T∣+S⟩∗=1\lang +T\mid+S\rang\lang+T\mid +S\rang^*+\lang 0T\mid+S\rang\lang0T\mid +S\rang^*+\lang -T\mid+S\rang\lang-T\mid +S\rang^*=1。与⟨+S∣+T⟩⟨+T∣+S⟩+⟨+S∣0T⟩⟨0T∣+S⟩+⟨+S∣−T⟩⟨−T∣+S⟩=1\lang +S\mid +T\rang\lang+T\mid +S\rang+\lang +S\mid 0T\rang\lang0T\mid +S\rang+\lang +S\mid -T\rang\lang-T\mid +S\rang=1联立，等式的左边相等对于任何的T,ST,S都成立。所以对于任意的状态ϕ,χ\phi,\chi，成立⟨ϕ∣χ⟩=⟨χ∣ϕ⟩∗\lang \phi \mid \chi\rang=\lang \chi \mid \phi\rang^*。也就是当一个事件反过来进行时，概率幅变为它的共轭。

我们把我们发现的三条普遍定律总结如下：

⟨i∣j⟩=δij\lang i\mid j\rang=\delta_{ij} ⟨χ∣ϕ⟩=∑i⟨χ∣i⟩⟨i∣ϕ⟩\lang\chi\mid \phi\rang=\sum_i \lang \chi\mid i\rang \lang i \mid \phi\rang ⟨ϕ∣χ⟩=⟨χ∣ϕ⟩∗\lang \phi\mid \chi\rang =\lang \chi\mid \phi\rang^*

其中，i,ji,j代表某一表象的所有基础态，ϕ,χ\phi,\chi代表原子的任何可能状态。在自旋为1的情况中，基础态数量为3。而在一般情况基础态数量可以是任意的，甚至是无穷的。

对于确定的起始状态ϕ\phi和终止状态χ\chi，假设粒子中间要经过一个复杂的仪器AA，我们如何计算从ϕ\phi出发能够到达χ\chi的振幅？我们把这个振幅记为⟨χ∣A∣ϕ⟩\lang \chi \mid A \mid \phi\rang。现在我们知道，经过一个所有可能状态都打开的仪器是不影响结果的，因此我们在AA的前后都放上全打开的仪器TT，就把这个振幅拆解为基础态的平方个振幅（在自旋为1的情形下是3×3=93\times3=9个）：⟨χ∣A∣ϕ⟩=∑i,j⟨χ∣j⟩⟨j∣A∣i⟩⟨i∣ϕ⟩\lang\chi\mid A \mid \phi\rang=\sum\limits_{i,j}\lang \chi \mid j\rang \lang j \mid A \mid i \rang \lang i \mid \phi\rang。这意味着，装置AA可以用矩阵Mji=⟨j∣A∣i⟩M_{ji}=\lang j \mid A \mid i\rang来描述，当我们已知起始和终止的振幅⟨i∣ϕ⟩\lang i \mid \phi\rang和⟨χ∣j⟩\lang \chi \mid j\rang时，实验结果就能被预言。如果装置AA是由BB和CC串联而成的，那么在B,CB,C中间插入全打开的仪器TT，就能得到⟨j∣A∣i⟩=∑k⟨j∣C∣k⟩⟨k∣B∣i⟩\lang j \mid A \mid i\rang=\sum\limits_{k}\lang j \mid C \mid k\rang\lang k \mid B \mid i\rang，这正是矩阵的乘法法则。要描述两个串联的仪器，只需把对应的描述矩阵相乘。

在对同一量子现象的描述中，有可能选用了不同的基础态而使得描述的方程完全不同。为了从一个基础态iSiS变换到另一个基础态jTjT，根据基础态的法则只需要做：⟨jT∣ϕ⟩=∑i⟨jT∣iS⟩⟨iS∣ϕ⟩\lang jT\mid\phi\rang=\sum\limits_{i}\lang jT \mid iS\rang \lang iS \mid \phi\rang。因此只需要计算矩阵⟨jT∣iS⟩\lang jT \mid iS\rang就可以完成变换。这里指出但不证明，仅仅由三维空间转动产生的基础态变换矩阵是可以从存在3个基础态这一纯粹的事实以及转动空间的对称性出发用纯粹的抽象推理来得到的。对于自旋为1的粒子，这就是一个3×33\times 3的矩阵。这样的数学运算和矢量代数中的基向量变换很类似，所以自旋为1的粒子常被称为“矢量粒子”。