02 连续性

开集与闭集(Open Sets & Closed Sets)

对于拓扑空间$(X,\tau_X)$，我们通常把$\tau_X$中的元素称为“开集”。我们相应地定义闭集：如果$S\subseteq X$满足$X\setminus S \in \tau_X$，则称$S$是$\tau_X$下的闭集。换言之，一个集合是闭集当且仅当其补集是开集。

注意，这并不意味着任何一个集合不是开集就是闭集。一个集合可以又是开集又是闭集，比如$\varnothing$（因为$\varnothing$的补集是$X$，而$X$总是在$\tau_X$中）；一个集合可以既不是开集也不是闭集，比如我们可以证明$X=\R$时，在标准拓扑（由所有实数开区间生成的拓扑）下$[2,3)$既不是开集也不是闭集：如果$[2,3)$时开集，那么它可以被基中的元素用并集表示，也即存在一组开区间$(a_\alpha,b_\alpha)$使得$[2,3)=\bigcup \limits_{\alpha}(a_\alpha,b_\alpha)$。所以，$2 \in \bigcup\limits_{\alpha}(a_\alpha,b_\alpha)$，所以存在$\beta$使得$2 \in (a_\beta,b_\beta)$。但这就意味着$(a_\beta,b_\beta)\subseteq [2,3)$，但是$a_\beta<2$，矛盾；如果$[2,3)$是闭集，那么$(-\infty,2)\cup [3,+\infty)$是开集，同理可证不可能有一组开区间恰好覆盖$3$而不覆盖任何小于$3$的元素，矛盾。

我们要特别注意我们所说的开集和闭集是对于哪个拓扑而言的。一个在$\R$的标准拓扑上的闭集可能是其它拓扑上的开集。考虑$\R$上的标准拓扑$\tau_\R$在子空间$Y=[0,1]\cup (2,3)$上的拓扑$\tau_Y$，因为$(-1/2,3/2)\in \tau_\R$，所以$(-1/2,3/2)\cap Y=[0,1]\in \tau_Y$。所以对于$\tau_Y$而言，$[0,1]$是开集。

对于集合$X$，我们可以证明$\mathcal{P}(X)$的子集$\tau$是关于$X$的一个拓扑当且仅当以下三个条件成立：

• $\varnothing,X$是闭集；
• 任意$\{A_\alpha\}_{\alpha \in J}$（可以不可数），如果$\forall \alpha\in J$，$A_\alpha$是闭集，那么$\bigcap\limits_{\alpha\in J} A_\alpha$是闭集；
• 对于任意闭集$A,B$，$A\cup B$是闭集；

证明只需展开“一个集合是闭集当且仅当其补集是开集”这一定义即可。这告诉我们，我们完全可以基于闭集来定义拓扑，而不一定必须基于开集来定义拓扑。我们可以定义拓扑是所有那些满足对有限并和任意交封闭的子集集合，然后基于这一定义发展出整个基于闭集的拓扑学。

设$Y\subseteq X$，$X$上的拓扑$\tau_X$在$Y$子空间上的拓扑为$\tau_Y$。可以证明：$\forall A \subseteq Y$，$A$是$Y$上的闭集当且仅当$A$是$X$上的某个闭集与$Y$的交。证明：左推右：$Y\setminus A \in \tau_Y$，根据子空间拓扑的定义，存在$U\in\tau_X$使得$Y\setminus A = U\cap Y$，所以$A=(X\setminus U)\cap Y$，而$X\setminus U$就是$X$上的一个闭集；右推左：设$A=(X\setminus U)\cap Y$，其中$U\in \tau_X$，那么$Y\setminus A=U\cap Y\in \tau_Y$，也即$A$是闭集；证毕。

对于开集，我们证明过如果$Y$是$X$上的开集，那么子空间$Y$上的开集一定是$X$上的开集。对于闭集，我们也可以证明这样的结论：如果$Y$是$X$上的闭集，那么子空间$Y$上的闭集一定是$X$上的闭集。证明：$\forall U \in \tau_Y$，我们要证明$X\setminus(Y\setminus U)\in \tau_X$。即证$(X\setminus Y)\cup U\in \tau_X$。因为$U\in \tau_Y$，所以存在$U'\in \tau_X$使得$U=U'\cap Y$。只需证$(X\setminus Y)\cup (U'\cap Y)\in \tau_X$。即证$(X\setminus Y)\cup U'\in \tau_X$。因为$U'\in \tau_X$，而$Y$是$X$上的闭集所以$X\setminus Y\in\tau_X$，所以并集也在$\tau_X$中，证毕。

闭包与内部(Closure & Interior)

对于拓扑空间$(X,\tau_X)$，定义$X$的一个子集$A$的内部为所有包含于$A$的开集的并，记为$\text{int}(A)=\bigcup\{U\mid (U\in \tau_X)\land (U\subseteq A)\}$；定义$X$的一个子集$A$的闭包为所有包含$A$的闭集的交，记为$\text{cl}(A)=\bigcap\{U\mid ((X\setminus U)\in \tau_X)\land (A\subseteq U)\}$。

根据定义，始终成立$\text{int}(A)\subseteq A \subseteq \text{cl}(A)$。如果$A$本身是一个开集，那么$\text{int}(A)=A$；如果$A$本身是一个闭集，那么$\text{cl}(A)=A$。

开集的任意并仍是开集，因此任何集合的“内部”一定是开集；闭集的任意交仍是闭集，所以任何集合的“闭包”一定是闭集。

设$Y$是$X$的子空间，那么对于$A\subseteq Y$，通常$A$在$\tau_Y$意义下的闭包$\text{cl}_Y(A)$和在$\tau_X$意义下的闭包$\text{cl}_X(A)$并不相同。可以证明：$\text{cl}_Y(A)=\text{cl}_X(A)\cap Y$。证明：$\text{cl}_X(A)$是$X$上的闭集，根据上一节证明的“$\forall A \subseteq Y$，$A$是$Y$上的闭集当且仅当$A$是$X$上的某个闭集与$Y$的交”可得$\text{cl}_X(A)\cap Y$是$Y$上的闭集，并且$A \subseteq \text{cl}_X(A)\cap Y$，所以$\text{cl}_Y(A)\subseteq \text{cl}_X(A)\cap Y$；对于$Y$上任意包含$A$的闭集$B$，根据同样的引理，存在$X$上的闭集$C$满足$B=C\cap Y$。那么$A\subseteq C\cap Y$，所以$A\subseteq C$。因为$C$是$X$上的闭集，所以$\text{cl}_X(A)\subseteq C$。于是$\text{cl}_X(A)\cap Y\subseteq C\cap Y=B$。所以$\text{cl}_X(A)\cap Y\subseteq \text{cl}_Y(A)$。

给定$X$的子集$A$。下面证明：$\text{cl}_X(A)=\{x\in X\mid \forall U\in \tau_X, (x\in U)\implies$ $(U\cap A \neq \varnothing)\}$。这描述了闭包中的元素，$A$的闭包中的任意元素如果被某个开集覆盖，这个开集就不可能与$A$无交；$A$闭包外的元素一定存在一个覆盖它的开集，这个开集与$A$无交。我们分别证明这两点：① 反证法，对于$x\in \text{cl}_X(A)$，如果存在$U\in \tau_X$，使得$(x\in U)\land (U\cap A=\varnothing)$，那么$A\subseteq X\setminus U$，且$X\setminus U$是闭集，因此$\text{cl}_X(A)\subseteq X\setminus U$，因此$\text{cl}_X(A)\cap U=\varnothing$，所以$x\in \text{cl}_X(A)$和$x\in U$不可能同时成立，矛盾；② 反证法，对于$x\notin \text{cl}_X(A)$，取开集$X\setminus \text{cl}_X(A)$，因为$A\subseteq \text{cl}_X(A)$，所以这个开集与$A$无交。

上面的性质也可以直接用基描述。设$\tau_X=\tau(\mathcal{B})$，那么$\text{cl}_X(A)=\{x\in X\mid \forall B\in \mathcal{B},(x \in B)\implies (B\cap A \neq \varnothing)\}$。这是自然的，因为我们总可以把“基”理解为“开集”的原子组件。对于闭包中的元素$x$，因为每个覆盖$x$的开集都与$A$相交，所以每个覆盖$x$的基元素都必定与$A$相交（基是拓扑的子集）；对于闭包外的元素$x$，一定存在一个覆盖$x$的与$A$不交的开集，这个开集由若干基元素取并得到，因此这些基元素一定也与$A$不交。

闭包也可以用“聚点(cluster point)”描述。对于$X$的子集$A$，称$x$是$A$的一个聚点当且仅当$\forall U \in \tau_X,(x \in U)\implies(\exists y,(y\neq x)\land (y \in U\cap A))$。注意，定义中并没有要求聚点$x\in A$，聚点可能在集合外。事实上，可以证明，$A$的闭包恰好等于$A$以及所有$A$的聚点组成的并集，$\text{cl}_X(A)=A\cup\{x \mid x \text{ is a clusture point}\}$。证明：左包含右，只需证明$\forall x \in \text{cl}_X(A)\setminus A$，$x$是$A$的聚点。因为$x \in \text{cl}_X(A)$，所以$\forall U \in \tau_X,x\in U\implies U\cap A\neq \varnothing$。因为$x \notin A$，所以$x\notin U\cap A$，所以$\exists y\neq x,y\in U\cap A$；右包含左，只需证明$A$的任意聚点在闭包内。若$x$是聚点，则对任意$U\in \tau_X$，如果$x\in U$则存在$y\neq x$满足$y\in U\cap A$，由此可见$U\cap A\neq \varnothing$，因此$x \in \text{cl}_X(A)$。证毕。

由此可见，对于$X$的任意子集$A$：如果$A$是闭集，那么$A$的闭包就是$A$，所以$A$的所有聚点都属于$A$；如果$A$不是闭集，那么由于包含$A$的最小闭集是它的闭包，而闭包是闭集，因此$A\subsetneq \text{cl}(A)$，因此一定存在$A$的聚点不属于$A$。综上所述，$A$是闭集当且仅当$A$包含$A$的所有聚点。

豪斯多夫条件(Hausdorff Condition)

在我们已经定义的一般的拓扑空间上，出现了一系列有悖于我们关于欧氏空间常识的现象。首先，欧氏空间中单点集$\{x_0\}$总是闭集，因为对于任何$x\neq x_0$，都存在一个包含$x$的“开球（欧式空间中的开集）”不包含$x_0$；其次，欧氏空间中的收敛点列总是收敛到一个唯一的点。然而，这两点在一般的拓扑空间中都不成立：

考虑$X=\{a,b,c\}$，$\tau_X=\{\{a,b\},\{b\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$。此时，$\{b\}$是开集，而不是闭集；考虑点列$b,b,b,\cdots$（称点列$\{x_n\}$收敛到$x$，如果$\forall U \in \tau_X,(x\in U)\implies (\exists N\in \N,\forall n>N,x_n\in U)$），根据定义$b,b,b,\cdots$同时收敛到$a,b,c$三个点，一个点列有三个收敛点！

出现这样的现象，其实是由于欧氏空间是某种具有“连续性”的特殊空间，在欧氏空间中开集可以任意小，乃至可以区分任意两个不相同的点。然而在离散拓扑中，开集并不具有这样的性质。换言之，我们定义的拓扑空间太具有一般性，以至于丢失了一些我们希望在讨论极限和连续时能够保留的良好性质。为此，我们需要增加一些条件，讨论一类特殊的拓扑空间，从而使得在这类拓扑空间上关于极限和连续的讨论更有实用性。

基于此目的增加的最著名条件是Hausdorff条件：$\forall x_1,x_2\in X,(x_1\neq x_2)\implies$ $(\exists U_1,U_2\in \tau_X,(x_1\in U_1)\land (x_2\in U_2)\land (U_1\cap U_2=\varnothing))$。满足这一性质的拓扑空间称为Hausdorff空间。在Hausdorff空间中，任意不同的两点都有不相交的闭包包含这两点，所以任意单点集都是闭集。我们来验证，Hausdorff空间中一个点列最多收敛到一个点。反证法：假设$\{x_n\}$同时收敛到$x,y$，并且$x\neq y$，那么存在$U_1\ni x,U_2\ni y,U_1\cap U_2=\varnothing$。根据点列收敛的定义，$\exists N_1,\forall n>N_1,x_n\in U_1$；$\exists N_2,\forall n>N_2,x_n\in U_2$。于是$\forall n>\max(N_1,N_2),x_n\in U_1\cap U_2$。但是$U_1\cap U_2=\varnothing$，矛盾。证毕。在Hausdorff空间中，我们可以把点列的收敛点称为该点列的极限。

因为闭集对有限并封闭，所以在Hausdorff空间中一个自然的推论是：任意有限集都是闭集。事实上，这也可以作为一个改善拓扑空间性质的条件。我们可以证明，这是一个弱于Hausdorff条件，称为$T_1$公理。存在这样的拓扑空间，满足$T_1$公理，却不满足Hausdorff条件。设$X=\R$，构造$\tau_X$包含$\varnothing,X$以及$\R$上所有有限集的补集。可以验证$\tau_X$确实是拓扑：对于任意一组$\tau_X$中的元素，它们是$X$上一组有限集合$\{F_\alpha\}$的补集，它们的并集$\bigcup (X\setminus F_\alpha)=X\setminus \bigcap F_\alpha$，其中$\bigcap F_\alpha$依然是一个有限集，因此$\bigcup (X\setminus F_\alpha)\in \tau_X$；对于任意两个$\tau_X$中的元素$X\setminus F_1,X\setminus F_2$，它们的交集为$X\setminus (F_1\cup F_2)$，其中$F_1\cup F_2$依然是有限集，因此$X\setminus (F_1\cup F_2)$。所以$\tau_X$是拓扑。对于$\tau_X$而言，任何有限集都是闭集，因为其补集总是在拓扑中。所以满足$T_1$公理。但是$\tau_X$中的任意两个元素都是有交的，因为$(X\setminus F_1)\cap (X\setminus F_2)=X\setminus (F_1\cup F_2)$，而$F_1\cup F_2$是有限集。因此$\tau_X$不是Hausdorff空间。

可以证明，每个全序集的序拓扑都是Hausdorff空间，每两个Hausdorff空间的积拓扑都是Hausdorff空间，Hausdorff空间的子空间是Hausdorff空间。可见，Hausdorff空间具有非常良好的性质。当我们讨论拓扑时，除非特别说明，一般都默认讨论Hausdorff空间。

连续函数(Continuous Functions)

给定拓扑空间$(X,\tau_X),(Y,\tau_Y)$，对于函数$f:X\to Y$，如果$\forall V\in \tau_Y,f^{-1}(V)\in \tau_X$，就称$f$是连续的(continuous)。其中，$f^{-1}(V):=\{x\mid f(x)\in V\}$。可见，函数的连续性是相对于定义域与值域上的拓扑而言的。$Y$中每个开集在$f$的原像都是$X$中的开集。

如果值域$Y$上的拓扑由一组基$\mathcal{B}$给出，那么要证明$f$连续只需证明$\forall B\in \mathcal{B},f^{-1}(B)\in \tau_X$。因为$\forall V\in \tau_Y$，$V$可以写成$\mathcal{B}$的一个子集的并$\bigcup\limits_{\alpha\in J}B_\alpha$，于是$f^{-1}\left(\bigcup\limits_{\alpha\in J}B_\alpha\right)=\bigcup\limits_{\alpha\in J}f^{-1}(B_\alpha)$，如果每个$f^{-1}(B_\alpha)$都属于$\tau_X$，则根据开集任意并的性质$f^{-1}(V)$也属于$\tau_X$。

如果值域$Y$上的拓扑是由任意子基$S$给出的（也即通过$S$的有限交生成基$\mathcal{B}$，再由基生成$\tau_Y$），那么要证明$f$连续只需证明$\forall T \in S,f^{-1}(T)\in \tau_X$。因为$\forall B \in \mathcal{B}$都可以写作$S_1\cap \cdots \cap S_n$，其中$S_i\in S$。所以$f^{-1}(B)=f^{-1}(S_1\cap \cdots \cap S_n)=\bigcap\limits_{i\in [n]}f^{-1}(S_i)$，根据开集有限交的性质$f^{-1}(B)\in \tau_X$。再利用上一段的证明，就有$f$连续。

连续的等价定义

可能我们已经注意到，在分析学中，连续函数并不是这样定义的。在分析学中，函数$f(x)$在点$x_0$处连续定义为$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x, (|x-x_0|<\delta\implies|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon)$。如果函数在每一点处都连续，就称函数连续。在这里，$x$可以是实数或者向量。之所以在分析学中可以这么定义，是因为分析学里的连续定义是基于度量空间的，度量空间使得我们可以讨论$|x-x_0|$。

在一般的拓扑空间中，我们也可以绕开度量空间来定义上面这种连续：给定拓扑空间$(X,\tau_X),(Y,\tau_Y)$，对于函数$f:X\to Y$，如果$\forall V\in \tau_Y,(f(x_0)\in V)\implies (\exists U\in \tau_X,x_0\in U\land f(U)\subseteq V)$，就称$f$在$x_0$连续。如果$f$在$X$的每一点上都连续，则称$f$连续。

下面我们证明，这一定义是等价定义。先证原始定义能推出该定义：若$\forall V\in \tau_Y,f^{-1}(V)\in \tau_X$，那么对于任意$x_0\in X$，若$f(x_0)\in V$，那么$f^{-1}(V)\in \tau_X$，于是令$U=f^{-1}(V)$，那么$x_0\in U$且$f(U)=f(f^{-1}(V))=V\subseteq V$；再证该定义能推出原始定义：对任意$V$，对于任意满足$f(x_0)\in V$的$x_0$，存在$U_{x_0}\in \tau_X$满足$x_0\in U\land f(U)\subseteq V$，所以$U_{x_0}\subseteq f^{-1}(V)$。所以$\bigcup\{U_{x_0}\mid x_0 \in f^{-1}(V)\}\subseteq f^{-1}(V)$。显然$f^{-1}(V)\subseteq \bigcup\{U_{x_0}\mid x_0 \in f^{-1}(V)\}$，所以$f^{-1}(V)=\bigcup\{U_{x_0}\mid x_0 \in f^{-1}(V)\}$。因为开集对任意并封闭，所以$f^{-1}(V)$是开集，证毕。

还可以证明，以下两种定义方式也是等价定义。证明也是类似的。将来如果有需要，我们将给出它们的证明：

• 给定拓扑空间$(X,\tau_X),(Y,\tau_Y)$，对于函数$f:X\to Y$，如果$\forall A\subseteq X,f(\text{cl}_X(A))\subseteq \text{cl}_Y(f(A))$，就称$f$连续；
• 给定拓扑空间$(X,\tau_X),(Y,\tau_Y)$，对于函数$f:X\to Y$，如果$\forall B,Y\setminus B \in \tau_Y\implies X\setminus f^{-1}(B)\in \tau_X$，就称$f$连续；（这是连续的闭集定义版本：$Y$中每个闭集的原像都是$X$的闭集）

同胚(Homeomorphism)

对于拓扑空间$(X,\tau_X),(Y,\tau_Y)$，如果函数$f:X\to Y$是双射，并且$f$与$f^{-1}$都连续，就称$f$是一个$X$到$Y$的同胚映射(homeomorphism)。

如果$f$是同胚，那么根据$f$连续可知$Y$中每个开集$V$的原像$f^{-1}(V)$都是$X$中的开集；根据$f^{-1}$连续可知$X$中的每个开集$U$的原像$(f^{-1})^{-1}(U)$都是$Y$中的开集，其中$(f^{-1})^{-1}(U)=\{y\in Y\mid f^{-1}(y)\in U\}$，因为$f$是双射所以是单射，因此$(f^{-1})^{-1}(U)=f(U)$。所以，$\forall U\in \tau_X,f(U)\in \tau_Y$；$\forall V \in \tau_Y$，可以取$U_V=f^{-1}(V)\in\tau_X$，使得$V=f(U_V)$。由此可见，每个$X$中的开集都由$f$映射到$Y$中的一个开集，每个$Y$中的开集都能由某个$X$中的开集由$f$映射，如果$U_1\neq U_2$则$f(U_1)\neq f(U_2)$（因为$U_1\neq U_2$，所以存在$x\in U_2\setminus U_1$，根据$f$是双射$f(x)\not\in f(U_1)$，但是$f(x)\in f(U_2)$，所以$f(U_1)\neq f(U_2)$）。由此可见，我们其实给出了一个$\tau_X\to \tau_Y$的双射$g$，定义为$g(U)=\{y\in Y\mid \exists x \in U,y=f(x)\}$。$X\to Y$的同胚映射会建立$\tau_X,\tau_Y$中开集的一一对应关系。

假如$X$上的某一性质完全由$X$的拓扑的性质推出，那么如果$X$与$Y$同胚，我们立即可以得到$Y$上相同的性质。所以我们说，同胚映射是保持拓扑性质的运算。

提到拓扑学，我们会联想到带有手柄的杯子，甜甜圈，莫比乌斯环，克莱因瓶。拓扑学家声称杯子和甜甜圈的形状是相同的。这里的“形状相同”就是指拓扑结构相同。用我们已经定义的概念来说，也即这两者的拓扑空间是同胚的。同胚是指存在一个双射，这个双射和它的逆映射都是拓扑空间上的连续映射。

同胚和代数中“同构映射(isomorphism)保持运算性质”的特点很相似。可以说，同构与同胚在精神上是同源的，都是一种对建立在集合上的某种关系在映射前后的保持。在代数学中，这种关系是运算$X\times X \to X$；在拓扑学中，这种关系是开集$\mathcal{P}(X)\to\text{Prop}$。序关系$X\times X\to \text{Prop}$也是一种集合上的重要关系，保持序关系的映射就是我们熟悉的单调映射。

嵌入(Imbedding)

设$f:X\to Y$是连续函数（在定义了拓扑$\tau_X,\tau_Y$的意义下），并且是单射。此时，令$Z=f(X)$，那么$f\big|_{Z}$就是$X\to Z$的满射（其中$f\big|_Z$表示限制$f$的值域不超过$Z$）。令$\tau_Z$为$Y$在子空间$Z$上的拓扑，此时如果$f\big|_Z$恰好是$X\to Z$的同胚映射，就称$f$是$X\to Y$的一个拓扑嵌入(topological imbedding)，简称嵌入。

如果继续之前的类比，嵌入就好像代数中的同态(homomorphism)：并不要求一一对应，但是在某种程度上保持拓扑性质。

度量拓扑(Metric Topology)

经典分析学中的拓扑（开集）都是基于度量空间定义的。集合$X$上的一个度量(metric)是一个函数$d:X\times X\to \R$，满足系列三个条件：

• 非负性：$\forall x,y\in X,d(x,y)\geq 0$；其中，$d(x,y)=0\iff x=y$；
• 对称性：$\forall x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)$；
• 三角不等式：$\forall x,y,z\in X,d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$；

满足以上性质的二元组$(X,d)$就称为一个度量空间。

度量空间可以给出一个拓扑空间，这就是经典分析学中的度量空间。对任意$x$，$x$的半径为$\varepsilon$的开球记为$B_d(x,\varepsilon):=\{y\mid d(x,y)<\varepsilon\}$。可以证明，$X$中全体开球组成的集合是一组基，由这组基生成的拓扑空间就称为“由$d$诱导的度量拓扑(the metric topology induced by $d$)”：显然，任何$X$中的元素都被以它自己为中心的开球覆盖，因此基的性质1成立；设$x\in B_d(y_1,\varepsilon_1)\cap B_d(y_2,\varepsilon_2)$，那么$d(x,y_1)<\varepsilon_1,d(x,y_2)<\varepsilon_2$，所以根据三角不等式有$B_d(x,\varepsilon_1-d(x,y_1))\subseteq B_d(y_1,\varepsilon_1)$，$B_d(x,\varepsilon_2-d(x,y_2))\subseteq B_d(y_2,\varepsilon_2)$，所以$x \in B_d(x,\min\{\varepsilon_1-d(x,y_1),\varepsilon_2-d(x,y_2)\})\subseteq B_d(y_1,\varepsilon_1)\cap B_d(y_2,\varepsilon_2)$。

如果对于一个给定的拓扑，我们可以找到一组度量使得该度量恰好诱导出该拓扑，那么我们只需利用这组度量就可以研究清楚这一拓扑。事实上，如果这样，这个空间里的数学问题就应当属于分析学中研究的问题了。然而，并不是每一个拓扑都可以找到一个度量。拓扑学的关键问题是：如何判断一个拓扑空间是否是可度量化的？如果可以，如何构造这组度量？拓扑学中的一些重要定理（例如Urysohn's metrization theorem）将回答这些问题。